Cultura matematica di base per il futuro cittadino

Parto da una constatazione:

Nella formazione dei giovani per la società del "duemila" la centralità della scuola si è drasticamente ridotta rispetto a cinquant'anni fa.
Per quanto riguarda specificamente la matematica, questa perdita di centralità si manifesta sotto due aspetti particolarmente appariscenti:

1. Ai fini dell'uso "pratico" nella vita quotidiana e professionale, la rilevanza di saper effettuare diligentemente calcoli faticosi e complicati (numerici, trigonometrici, di derivate e integrali,...) o di saper "studiare una funzione" è stata in larga misura marginalizzata con l'avvento dei calcolatori.
   
2. Sono invece divenute assai più rilevanti le capacità "progettuali" del tipo:
   * Modellizzare situazioni problematiche non completamente formalizzate.
   * Conoscere e saper utilizzare in modo appropriato vari tipi di linguaggi (verbale, algebrico, simbolico, grafico, informatico,...) e saper passare da un linguaggio ad un altro.
   * Effettuare valutazioni probabilistiche, interpretare dati statistici, stimare ordini di grandezza.
   * Controllare la sensatezza dei risultati dei calcoli effettuati con l'uso di un computer a partire da dati numerici approssimati, tenendo conto della propagazione degli errori.

Mentre la scuola ha iniziato a prendere atto di quanto segnalato al punto 1, essa stenta a fare altrettanto per quanto riguarda la sfida di cui al punto 2. E una ragione c'è:

È ben più difficile esplorare situazioni "aperte" (magari prive di soluzioni, o suscettibili di una pluralità di soluzioni diverse) piuttosto che risolvere un problema del quale si sa già che avrà una e una sola soluzione, ottenibile mediante l'applicazione diligente di un procedimento calcolativo standard.
Ma "difficoltà " non deve significare "rinuncia", bensì "gradualità ", partendo da problemi non stereotipati, che siano alla portata degli allievi (ad ogni livello scolastico, dalle elementari all'università).

Tra gli infiniti problemi possibili ne cito otto, che non vanno visti come episodi isolati, bensì inquadrati in un percorso didattico globale coerente:

(I). SVILUPPI DEL CUBO.
	Proposta per allievi di scuola media: dopo aver fatto costruire un cubo di cartone partendo dal suo sviluppo piano tradizionale (quello a croce) si pone il problema: Esistono altri sviluppi del cubo? (Quanti? Quand'è che due sviluppi vanno considerati "uguali"? Qualcuno di tali sviluppi presenta vantaggi o svantaggi rispetto a quello standard? ...).

(II). "NON A IMPLICA NON B".

Proposta per inizio scuola sec. sup.

A partire dalla proposizione "chi non gioca non vince"

quali delle seguenti proposizioni ne conseguono?

"chi gioca vince"

"chi non vince non gioca"

"chi vince gioca".

(III). FORMULA DI ERONE PER I QUADRILATERI (vedi [3] §16).

Proposta per scuola sec. sup.

Esiste una formula analoga a quella di Erone, per calcolare l'area di un quadrilatero (convesso) a partire dalla conoscenza delle lunghezze dei suoi 4 lati? (In caso di risposta affermativa, dare una dimostrazione, in caso di risposta negativa dare un controesempio e suggerire modifiche al testo del problema, atte a garantire l'esistenza e unicità della soluzione).

(IV) NUMERI AL DI LÀ DELL'ESPERIENZA QUOTIDIANA.

Due proposte, per scuola media e per scuola sec. sup.

(IV-I). Se 30 miliardi (di Euro) fossero distribuiti tra tutti gli italiani, quanto toccherebbe a ciascuno?

(IV-2). Calcolare la probabilità di azzeccare un SEI giocando una sestina di numeri. Confrontare questa probabilità con quella di altri eventi "rari".

(V) PAGAMENTI DIFFERITI (vedi [1], p.40]).

Proposta per allievi del triennio di scuola sec. sup.

L'acquisto di una macchina può essere effettuato scegliendo fra due tipi di pagamento:

(a) Si paga l'intero importo di 22500 Euro in un'unica rata al 1.1.2006.
(b) Si suddivide il pagamento in tre rate, ognuna da 8000 Euro, alle scadenze del primo gennaio degli anni 2006, 2007, 2008.
Disponendo del denaro necessario, e sapendo che le somme non ancora spese possono essere investite ad un interesse annuo del 7%, quale delle due forme di pagamento è più vantaggiosa?

(VI) IL FUMATORE PENTITO.

Proposta per allievi degli ultimi anni di scuola sec. sup.

Un giovane ventenne è solito fumare un pacchetto di sigarette al giorno. Decide improvvisamente di smettere di fumare e di mettere da parte ogni giorno i soldi così risparmiati. A quanto ammonterà il suo capitale dopo 50 anni?
(Villani, Suppl. al NUMI, n. 10, Ottobre 1998, pp. 37-44 e 119-122).

(VII). DEMOGRAFIA.

Proposta per fine scuola sec. sup.

Una popolazione A formata inizialmente da 500000 individui cresce ad un tasso costante del 6 % annuo. Un'altra popolazione B, formata inizialmente da 1300000 individui cresce ad un tasso costante del 2 % annuo. Dopo quanti anni le due popolazioni saranno ugualmente numerose?

(VIII) IL SIGNIFICATO DELLE PAROLE.

Proposta per ultimi anni di scuola sec. sup.

Alla fine di ogni anno un'indagine statistica nazionale fornisce dati sulla prevalenza e sull'incidenza delle principali patologie croniche. Confrontando i dati relativi ad una specifica patologia (X) per l'anno 2004 con quelli per l'anno 2005 si constata che la prevalenza di (X) è aumentata mentre l'incidenza è diminuita. Come si spiega questa apparente contraddizione?

(N.B. "prevalenza" = numero di soggetti malati al 31 dicembre dell'anno di riferimento; "incidenza" = numero di nuovi casi registrati nel corso dell'anno di riferimento).
Si scelgano le variabili ritenute significative e si faccia qualche esempio numerico, in cifre assolute o in valori percentuali.

Fin qui ho parlato di scuola. Ma come si collegano queste riflessioni e questi esempi di matematica scolastica alle problematiche che gli attuali studenti dovranno affrontare nel loro futuro di cittadini "informati"?
Prima di rispondere alla domanda, propongo un elenco (ovviamente incompleto e soggettivo) di temi che ampie fasce di cittadini ritengono importanti. Nello stilare l'elenco ho tenuto conto degli esiti di sondaggi di vario tipo, di articoli e "lettere al direttore" pubblicate su giornali e riviste, di trasmissioni televisive, di annunci pubblicitari e - perché no - di argomenti ricorrenti nelle rubriche dedicate ad astrologia e oroscopi (a scanso di equivoci: considero queste rubriche non solo inutili ma addirittura dannose sotto tutti gli altri punti di vista, ma utili come specchio abbastanza fedele di ciò che molti lettori (non solo i più sprovveduti) vorrebbero sentirsi dire...:

• Salute
• Lavoro
• Tasse, Risparmi, Pensioni
• Immigrazione
• Lotto, Lotterie e Giochi a premi

Se siamo daccordo che il valore culturale dell'insegnamento-apprendimento della matematica sta nel metodo e nell'acquisizione di un atteggiamento mentale critico, più che nella trasmissione di contenuti specifici, vediamo ora in che senso gli esempi citati nella prima parte di questa relazione possano contribuire (indirettamente) a formare una cultura che consenta poi ai giovani, diventati cittadini adulti, di affrontare in modo più razionale temi analoghi a quelli or ora elencati.

SALUTE

* Un uso scorretto di "Non A implica non B" applicato ad un'affermazione del tipo "Se non c'è febbre non si tratta di influenza" può portare a concludere che "Se c'è febbre si tratta di influenza" , escludendo troppo frettolosamente altre possibili patologie.

* Una volgarizzazione semplicistica di termini tecnici astrusi come quelli esemplificati nel "Significato delle parole" può dare luogo ad allarmismi eccessivi (la patologia si estende) o a speranze ingiustificate (la patologia regredisce).

LAVORO

* Gli "Sviluppi di un cubo" e " La formula di Erone per i quadrilateri" sono esempi emblematici per l'acquisizione di un ordine mentale nell'analizzare in ambito lavorativo tutte le possibili alternative ragionevoli, prima di prendere decisioni operative, optando poi quella ritenuta la più favorevole.
Anche il "Significato delle parole" è fondamentale in tutte le professioni: spesso nascono polemiche e controversie proprio per la mancata chiarezza nell'uso dei termini tecnici.

TASSE, RISPARMI, PENSIONI

Il collegamento con gli esempi dei "Pagamenti differiti" e del "Fumatore pentito" è palese. Più in generale le progressioni geometriche sono presenti in buona parte dei modelli matematici in ogni campo (economico, biologico, chimico, ...).

Anche l'esempio (IV-1) "30 miliardi distribuiti tra 60 milioni di italiani") può contribuire a dare un senso all'ordine di grandezza di numeri che non rientrano nella nostra esperienza quotidiana.

IMMIGRAZIONE.

Anche in questo caso il collegamento con l'esempio della "Demografia" è palese (e fa vedere l'ineluttabilità di un sorpasso della popolazione più prolifica su quella meno prolifica).
C'è poi da tenere presente che, se due popolazioni si fondono e se gli accoppiamenti tra individui delle due popolazioni avvengono in modo "casuale" , una legge genetica detta di Hardy-Weinberg (vedi [l], p 252-253) afferma che la distribuzione dei vari genotipi raggiunge già alla prima generazione un punto di equilibrio (dipendente solo dalla frequenza relativa dei genotipi nelle due popolazioni) e che rimane poi costante per le generazioni successive.
(Non ho competenza specifica, ma sospetto che la legge di Hardy–Weinberg smentisca l'illusione di poter mantenere separate colture OGM-free accanto a colture della stessa specie geneticamente modificate).

LOTTO, LOTTERIE E GIOCHI A PREMI

In questo ambito la difficoltà che si incontra parlando con interlocutori adulti sta soprattutto nel convincerli che non esistono "esperti" (né "maghi") in grado di dare consigli utili per aumentare la probabilità di vincita in giochi basati su estrazioni casuali.

L'esempio (IV,2) ci dice che la probabilità di vincita al superenalotto è veramente "infinitesima" e che di conseguenza chi non può fare a meno di giocare lo faccia solo per divertimento, mai con l'obiettivo di migliorare la propria situazione economica (e lo stesso vale per tutti gli altri giochi dello stesso genere).

Commento finale: in questa relazione non ho inteso proporre ricette di alcun genere, ma solo spunti di riflessione per quanti hanno avuto la pazienza di ascoltarmi.