Curiosità galoisiane

Évariste Galois (1811–1832), giovane matematico francese geniale ed originale, è una figura tragica e stupefacente della Storia della Matematica dell’800. La teoria generale delle equazioni che porta il suo nome, ricca di idee nuove e profonde, ha segnato la nascita dell'Algebra moderna e ha dato un contributo importante allo sviluppo di altri settori della matematica. Purtroppo, l'eccezionale talento di Galois si accompagnava nei suoi lavori a un aspetto decisamente negativo: un esagerato desiderio di concisione rendeva difficile, e a volte oscura, la comprensione delle sue idee. Le sue vicende umane hanno suscitato giudizi molto severi da parte di alcuni storici della matematica, che lo hanno descritto come uno studente di indiscussa superiorità rispetto alla maggior parte dei suoi compagni di scuola, ma insofferente a una disciplina rigorosa; rispettoso del suo insegnante di matematica (È. L. Richard), ma sprezzante della mediocrità di altri suoi professori o esaminatori; divorato dalla passione per la matematica, ma per nulla impegnato nelle altre materie. Per completare il quadro possiamo aggiungere che, da convinto repubblicano ed acceso rivoluzionario, partecipò attivamente alla lotta politica che si ebbe in Francia durante il regno di Carlo X di Borbone fino ai moti rivoluzionari di Parigi del luglio del 1830, provando di persona la dura vita della prigione; conobbe un amore infelice e si lasciò coinvolgere in un misterioso duello, dove trovò la morte poco più che ventenne.

Non è nostra intenzione soffermarci ad approfondire la conoscenza della figura di Galois, così complessa e discussa. Vogliamo, invece,mettere in luce l'intensa attività scolastica, spesso rimasta in ombra, e l'importanza dei suoi primi lavori matematici. La sua produzione scientifica consiste in massima parte degli articoli pubblicati in vita in due importanti riviste matematiche francesi, e successivamente riediti a cura di Liouville. I suoi manoscritti comprendono appena una settantina di pagine, nelle quali l'esposizione è spesso frammentaria e talvolta così concisa da sembrare incompleta. Ciononostante, al di là dei singoli passaggi logici, in alcuni degli inediti di Galois si possono cogliere intuizioni di rara bellezza, che, per la loro semplicità ed il loro carattere elementare, si prestano ad essere proposti nell'ultima classe della scuola superiore, a complemento delle lezioni di geometria, analisi e probabilità.

1. Alcune note storiche

I manoscritti di Galois furono consegnati dall'amico Auguste Chevalier a Joseph Liouville, che ne pubblicò solo una parte, quella storicamente più rilevante: essa comprende la celebre Memoria sulla risolubilità delle equazioni algebriche per mezzo dei radicali ed è accompagnata dalla famosa ultima lettera, indirizzata a Chevalier, che Galois scrisse la notte prima del duello, e che rappresenta il suo testamento scientifico.
Liouville pubblicò questi due scritti nel 1846, nel tomo XI del suo Journal de Mathématiques, insieme ai lavori di Galois già apparsi negli Annales de Mathématiques Pures et Appliquées di Joseph Gergonne e nel Bulletin des Sciences Mathématiques di André d'Audebard de Férussac. Lo scopo era attirare l'attenzione dei matematici europei sul giovane francese prematuramente scomparso, e in particolare sulla potenza, profondamente innovativa, della teoria delle equazioni algebriche, che egli stesso aveva potuto apprezzare appieno soltanto dopo anni di studio intenso. Liouville lasciò in eredità la sua biblioteca ed i suoi numerosi scritti a uno dei suoi generi, il signor de Blignières. Quando la consorte di quest'ultimo riuscì a ritrovare, in mezzo a tutto quel materiale, i manoscritti di Galois, li donò all'Académie des Sciences di Parigi, non prima di aver autorizzato Jules Tannery ad esaminarli e a pubblicarne alcuni estratti, nel 1906.

A parte alcuni frammenti, le note di Galois non incluse nell'opera di Liouville sono contenute in una cinquantina di fogli sciolti e in un quaderno di 96 pagine (formato 15x19, di carta molto sottile ed ingiallita), di cui solo 14 sono utilizzate. Sul frontespizio si legge "Note di matematica", ma la mano non è quella di Galois. La stessa grafia, pressoché illeggibile, ricompare nelle prime pagine. La parte redatta personalmente da Galois, con caratteri piccoli, fitti ed eleganti, copre complessivamente 11 pagine. Un'edizione commentata di questi scritti è stata curata, in tempi più recenti, da Azra e Bourgne [1]. Da essa abbiamo tratto esempi di brani originali che ci pare illustrino, con straordinaria chiarezza, quegli aspetti della matematica che, nascendo dalla passione di un giovane ricercatore, possono suscitare nel giovane discente meraviglia ed entusiasmo.

2. Quattro brani da leggere

1. Il quaderno inedito si apre con una nota di due pagine intitolata Asintoti di una curva (vedi [1], 188 a, 188 b, 189 a). In essa la nozione intuitiva di due curve algebriche del piano xy che "tendono ad assomigliarsi quando x tende all'infinito" viene tradotta in formule, utilizzando facili argomenti basati sulla derivazione e la decomposizione di un polinomio in fattori lineari. A rendere il ragionamento particolarmente stimolante ed accessibile ad un lettore giovane è la trattazione del limite come "calcolo con x=∞" , che evita il passaggio, concettualmente problematico ed insidioso, attraverso la definizione topologica. In poche righe lo scritto di Galois racchiude ed esemplifica due momenti cruciali della creazione matematica, che corrispondono ad altrettanti tipici ostacoli nell'apprendimento scolastico: la conversione dell'idea geometrica in simboli ed identità, che concilia visualizzazione ed elaborazione formale, e la visione globale della materia, che permette di risolvere un problema combinando strumenti provenienti da diversi settori.

VII
QUADERNO INEDITO
A. ASINTOTI DI UNA CURVA

188 a Suppongo che l’equazione della curva sia di grado m. Siano φ(x,y) il complesso dei termini di grado m, ψ(x,y) quello dei termini di grado m-1, in modo che questa equazione sia della forma

φ(x,y) + ψ(x,y) + … = 0

Per sapere cosa diventa y/x quando x è infinito, divido tutto per x m; si ha

che si riduce semplicemente, (quando x = ∞), a

L’equazione φ(x,y) = 0 fornisce il rapporto di y a x quando si passa all’infinito.
Ciò posto, sia Φ(x,y) + Ψ(x,y) + … = 0 l’equazione di un’altra curva. Affinché queste due curve siano asintotiche l’una all’altra è necessario che le equazioni φ(x,y) = 0 e Φ(x,y) = 0 abbiano un fattore comune del tipo (y – cx)n.
Ma questo non è sufficiente, occorre, di più, che, nelle due curve, il valore di (y – cx)n sia lo stesso all’infinito.

188 b Siano dunque

sostituendo nelle equazioni rispettive delle curve e dividendo tutto per q e per Q, si avrà

e, passando all’infinito, rimane

da cui si ha, per la seconda condizione,

che deve aver luogo all’infinito, cioè quando y = cx. Restano da esprimere q e Q quando y = cx. Ora si ha

Se si pone y = cx in queste formule, si ottiene 0/0; differenziamo dunque i termini rispetto a y, si avrà

valori che sostituiti nell’equazione della condizione, danno

e questa equazione deve essere soddisfatta da y = cx.

189 a Se una delle due curve divenisse una retta, per esempio si avesse

Φ(x,y) = y – cx ; Ψ(x,y) = –b

la seconda condizione si ridurrebbe a

da cui questo teorema: le [curve] asintotiche di una curva dipendono unicamente dai termini di   grado della sua equazione.

Da questo teorema si può trarre un nuovo metodo per determinare gli asintoti in certi casi.

Sia (sempre) φ(x,y) + ψ(x,y) + … = 0 (l’equazione). Se conservando i termini φ(x,y) + ψ(x,y), si dispongono gli altri termini in modo da rendere l’equazione risolvibile in fattori di primo grado, non bisognerà ricercare altro che gli asintoti di una linea la cui equazione si decomporrà in fattori. Questi fattori saranno dunque essi stessi le equazioni dei diversi asintoti, tra i quali ce ne potranno essere di immaginari.

2. Nelle pagine successive si trova un breve saggio sui Principi dell'Analisi, seguito da alcune osservazioni. Tra queste, di particolare interesse è una formula semplicissima che serve a ricondurre l'integrale a degli estremi assegnati, quando questi estremi sono finiti (vedi [1], 192 b). Qui Galois presenta un'insolita applicazione della regola di integrazione per sostituzione, diversa da quelle usualmente proposte dai testi scolastici: non si tratta, in questo caso, di cambiare la funzione integranda al fine di ottenerne una di cui sia nota la primitiva, bensì di calcolare, a partire da un certo integrale definito, l'integrale della stessa funzione in un altro intervallo. Un banale esercizio mostra così come i teoremi matematici non siano regole d'uso da leggere ed utilizzare "a senso unico". Per accrescere la propria capacità come solutori di problemi, non sempre bisogna cercare nuovi strumenti: a volte basta saper sfruttare in maniera opportuna le potenzialità insite negli strumenti che sono già a disposizione.

C. OSSERVAZIONI

192 b

3. La nota seguente (vedi [1], 192 bis a) riguarda il numero di Nepero e, che viene introdotto come limite della successione di termine generale . In una sola pagina, Galois riesce a derivare da questa definizione sia il ruolo di e nel calcolo degli interessi composti, sia la sua relazione con i numeri complessi, espressa dalla nota identità di Eulero. Nel primo caso è l'aritmetica, nel secondo caso è la trigonometria a fungere da tramite, con passaggi sorprendentemente brevi ed elementari. Questa perla di eleganza è una delle rarissime occasioni in cui lo studente può condividere lo stupore che il matematico prova di fronte a certi collegamenti inaspettati, e che è la principale motivazione per il ricercatore puro. Ogni applicazione alla risoluzione di un problema concreto presuppone, naturalmente, una teoria. Quest'ultima viene sviluppata poco a poco, in maniera non lineare, costruendo gradualmente una rete di relazioni che finisce per inglobare, in un unico tessuto, singole osservazioni e proprietà di varia origine.

192 bis a

Si può ricollegare la teoria dei logaritmi di Nepero alle considerazioni dell’aritmetica elementare.

In effetti, si sa che un franco investito all’interesse di a :1 in un anno, aumenta diversamente a seconda che gli intervalli rispetto ai quali si prendono gli interessi degli interessi siano più o meno ravvicinati.

Per esempio, se si prendessero gli interessi di mese in mese, il franco, nel giro di un anno, varrebbe

 franchi

Se li si prendessero di giorno in giorno, il franco, nel giro di un anno, varrebbe

  franchi.

Ora è curioso vedere qual è il limite che non si può superare, per quanto sia piccola la distanza [temporale] alla quale si prendono gli interessi. In base a quanto precede, questo limite sarà

4. Un altro scritto significativo è la prima pagina del compito svolto da Galois al Concorso Generale per docenti delle scuole, tenutosi nel 1829 (vedi [1], pag. 424). Del manoscritto ci è pervenuto solo questo frammento, sotto forma di fotografia. L'elaborato riguarda la determinazione di una curva descritta come luogo nello spazio. La soluzione proposta da Galois prescinde da difficili visualizzazioni tridimensionali (tradurre l'enunciato in una figura è praticamente impossibile) e da astrusi calcoli analitici: il problema viene ricondotto a due banali situazioni nel piano, in cui si applica semplicemente il teorema di Pitagora. I due triangoli rettangoli considerati hanno un cateto in comune e per concludere basta uguagliare le due differenze di quadrati che esprimono la sua lunghezza. L'identità risultante descrive una parabola. Ecco una sonora smentita diretta a chi respinge la geometria solida, ritenendola troppo difficile da "disegnare" e troppo complicata da "scrivere".

“1° QUESTIONE. Assegnate una superficie sferica e la superficie di un cilindro retto a base circolare, che si intersecano in una curva; si supponga che da tutti in punti di questa curva si calino perpendicolari sul piano passante per il centro della superficie sferica e per l’asse della superficie cilindrica, e si chiede l’equazione della curva che passa per tutti i punti dove esso [il piano] è incontrato dalle perpendicolari, e di quale tipo sia questa curva.

1° SOLUZIONE. Sia O il centro della sfera, XY l’asse del cilindro, R e r rispettivamente i raggi della sfera e del cilindro. Se si proietta sul piano OXY uno qualsiasi dei punti d’intersezione della sfera e del cilindro, detta M la proiezione di questo punto, è chiaro che il quadrato della proiettante (distanza del punto dalla sua proiezione) sarà uguale a , e a (essendo PM la perpendicolare abbassata dal punto M su XY), poiché il punto di cui M è la proiezione appartiene al contempo alla sfera e al cilindro. Si avrà dunque

In questo modo la differenza dei quadrati delle distanze del punto M da una retta e da un punto è costante. La curva in questione è dunque una parabola, tale proprietà appartiene solo a questo genere di curva.

Per avere la sua equazione, prendiamo come asse delle x la perpendicolare AO, e come asse delle y la retta XY. Sia AO = a. Si avrà

.

Questa è l’equazione cercata.

Altre note di Galois sono state elaborate per la scuola in [6]. Il testo [5] inserisce brani originali, anche di altri autori, in un contesto didattico ampio e strutturato, sviluppato sia nella trattazione storica, sia nell'esposizione della teoria. Il volume riguarda l'aritmetica elementare e la geometria delle grandezze: esso fa parte di un progetto editoriale ancora in corso di realizzazione, che prevede la pubblicazione di altri due volumi, con capitoli dedicati a vari argomenti di algebra ed analisi. Le opinioni degli autori sul ruolo della storia nell'insegnamento della matematica sono state esposte in [2], [3] e in [4]. La bibliografia sull'argomento è molto vasta: numerosi altri studiosi, in tutto il mondo, hanno sostenuto, negli scorsi decenni, la valenza didattica della storia della matematica. Nell'impossibilità di citarli tutti, ne omettiamo il lunghissimo elenco.

[1] J. P. Azra, R. Bourgne. Ecrits et mémoirs mathématiques d'Evariste Galois. Gauthier-Villars, Parigi, 1962.
[2] M. Barile, La storia della matematica in classe: l’esempio francese. Atti del Congresso Nazionale Mathesis, Barletta (2000), 47-55.
[3] M. Barile, La storia della matematica in classe: i numeri complessi. Periodico di Matematiche, Serie VII, 7, N.2-3 (2000), 91-102.
[4] M. Barile, G. Dell'Uomo, S. De Nuccio, R. Sabbadini, Perché studiare la matematica? In: Le competenze matematiche fra la scuola e l'università. Supplemento al Periodico di Matematiche, N.3 2005.
[5] M. Barile, S. De Nuccio. Lezioni di Matematica dagli scritti di Évariste Galois. Edizioni Goliardiche, Trieste, 2004.
[6] S. De Nuccio. 12 compiti scolastici di Évariste Galois. Edizioni Goliardiche, Trieste, 2003.