Itinerari didattici con Cabri

Introduzione

L 'utilizzo del software di geometria dinamica e in particolare di Cabri, a dieci anni dalla sua comparsa in Italia, si può ritenere un fatto acquisito. Numerose esperienze sono state portate avanti nelle scuole italiane, dalle elementari alle medie superiori. Il dibattito, che si svolge sulle pagine di CABRIRRSAE sull'uso di Cabri in classe, ha coinvolto e coinvolge ancora tanti docenti. Nella seppur breve storia dell'applicazione degli strumenti informatici nell'insegnamento della matematica si può certamente affermare che nessun altro programma abbia suscitato un dibattito tanto vasto e articolato e prodotto una quantità di materiale didattico paragonabile a quella che ora è disponibile
su Cabri. (vedi [4])
In questo articolo si vogliono esporre le linee guida di un progetto didattico (vedi [2]) che mira a introdurre un uso nuovo di Cabri, con lo scopo di creare due percorsi, uno teorico e uno di utilizzo dello strumento informatico, completamente coerenti. Si tratta di due cammini paralleli in cui il "sapere" e il "saper fare" si evolvono in modo graduale, con interazioni continue e arricchimenti reciproci.
Questo metodo è applicato alla geometria euclidea del 1° biennio superiore.
Per ragioni di spazio, viene descritta in dettaglio solamente la parte iniziale del percorso didattico: quella che, dal punto di vista teorico, va dalle prime definizioni e assiomi alla formulazione del postulato della parallela; mentre, dal punto di vista delle costruzioni, comprende la definizione degli strumenti e delle loro capacità operative e la costruzione degli enti più importanti della geometria euclidea.
Alla descrizione di questo percorso (a cui sono dedicate le sezioni dalla terza in poi) premettiamo una considerazione di carattere più generale sull'uso del software didattico.

1. Percorso didattico e strumento informatico: il problema generale
Quando si utilizza uno strumento informatico nell'insegnamento della matematica si deve affrontare un problema comune a tutti i programmi abitualmente usati: si tratta della profonda discrepanza tra il percorso didattico e il software. Il primo è per sua natura un procedimento dinamico, mentre il secondo è uno strumento statico.
Lo studente apprende man mano nuovi concetti e il suo bagaglio di conoscenze si evolve nel corso dei suoi studi. Questo avviene in tutti i settori della matematica, sia che si faccia algebra, sia che si faccia geometria analitica, sia in particolare geometria euclidea.
A fronte di questo processo evolutivo il software possiede delle caratteristiche che rimangono immutate e che quindi non sono mai perfettamente "isomorfe" al bagaglio teorico acquisito o, nella migliore delle ipotesi, lo sono solamente in un momento del cammino. Spesso il software è sistematicamente troppo potente rispetto alle possibilità di utilizzo da parte dello studente della media superiore: questo è certamente il caso dei sistemi di calcolo simbolico, come Derive o Mathematica.
Per rendere "isomorfi" i contesti dell'apprendimento teorico e dell'attività di laboratorio informatico, il procedimento più comunemente utilizzato è quello di ignorare alcune potenzialità del programma che si sta usando. Il docente sa che il software può fare certe cose, ma semplicemente non utilizza queste opzioni. I rischi di questo modo di procedere sono ben noti: lo studente curioso esplorando il programma (cosa in cui i ragazzi sono abilissimi) trova le potenzialità che erano state nascoste e mette in crisi il quadro didattico che si stava utilizzando.

2. Percorso didattico e strumento informatico: il caso di Cabri
Cabri rientra certamente nella categoria dei software che sono più potenti di quanto sia necessario, almeno quando lo si utilizza nella geometria euclidea. Nella prima versione Cabri era essenzialmente uno strumento che trasferiva sullo schermo del computer i tradizionali strumenti della riga e compasso. Con Cabri II e Cabri II Plus lo strumento è stato molto potenziato, introducendo l'opzione non euclidea del Trasporto di misura e tutto il micromondo della geometria analitica.
Anche quando ci si limita a considerare le sole voci del menu corrispondenti a costruzioni tipicamente euclidee, non sempre si ha uno strumento informatico perfettamente coerente con il bagaglio teorico posseduto. Questo fatto si verifica in particolare nelle prime fasi del percorso didattico. Ad esempio, che senso ha avere a disposizione la voce Perpendicolare, quando non si è
ancora parlato di questo concetto?
Quindi anche Cabri deve essere "ridotto", se si vuole realizzare il parallelismo tra quadro teorico e strumento informatico. A differenza di altri programmi e a testimonianza dell'attenzione con cui Jean-Marie Laborde e i suoi collaboratori hanno tenuto conto delle esigenze didattiche, Cabri possiede uno strumento apposito per questo: la possibilità di modificare il menu.
Scegliendo Opzioni, Configurazione degli strumenti è possibile eliminare le voci che non si vogliono utilizzare, creando così un menu ridotto che può essere salvato come file. Aprendo Cabri e richiamando questo file, si può lavorare con una versione del software che possiede solamente le caratteristiche desiderate.

3. Costruire, scoprire e dimostrare
Nei classici della tradizione didattica italiana la presentazione della geometria euclidea è di tipo ipoteticodeduttivo e sono evidenziati assiomi, definizioni e dimostrazioni. Scarsa (o nulla) è invece l'attenzione all'aspetto costruttivo, di solito affrontato in un capitoletto a parte, abbastanza avanti nell'esposizione (dovendo essere stata introdotta la circonferenza per motivare le costruzioni stesse).
La caratteristica essenziale del percorso che presentiamo è invece il recupero dell'aspetto intuitivo e costruttivo nell'insegnamento della geometria. La costruzione degli oggetti geometrici e la scoperta delle loro proprietà, lungi dall'essere un complemento a un cammino da cui è sostanzialmente indipendente, assume lo stesso rilievo dell'aspetto deduttivo e teorico.
Teoria e costruzione/scoperta sono due processi che si svolgono simultaneamente, secondo lo schema seguente (qui e nel seguito, per evidenziare i due aspetti anche dal punto di vista tipografico si utilizza il corsivo per la parte teorica e il tondo per quella costruttiva):

Assiomi e definizioni - Strumenti di costruzione
(riga e compasso - Cabri)
Costruzione degli enti geometrici
Giustificazione delle costruzioni
Scoperta delle loro proprietà
Dimostrazione delle proprietà

La prima parte (corrispondente alla prima riga dello schema) richiede che i due aspetti siano introdotti allo stesso tempo, come vedremo nella prossima sezione. Nei passaggi successivi la sequenza temporale è quella indicata: si parte dalla costruzione di un oggetto di cui si scoprono le proprietà, grazie alla deformazione dinamica e agli strumenti di esplorazione offerti da Cabri.
La costruzione va giustificata in base ai risultati acquisiti e le proprietà scoperte vanno dimostrate. Alla fine del ciclo la parte teorica si è arricchita dei risultati e la parte costruttiva si è arricchita di un nuovo oggetto e il ciclo può ricominciare.

4. Il punto di partenza: il "menu zero" e il quadro assiomatico iniziale
Il punto di partenza di un percorso di geometria è la formulazione delle definizioni e degli assiomi di base, che introducono gli oggetti da studiare e le loro relazioni. Dal punto di vista operativo si tratta invece di stabilire quali sono gli strumenti che possiamo utilizzare e quali sono gli oggetti geometrici fondamentali che tali strumenti permettono di costruire.
In questa formulazione dei principi primi è conveniente seguire da vicino (ovviamente con linguaggio moderno, vedi [5]) la presentazione data da Euclide negli Elementi (vedi [3]), proprio per l'attenzione che egli ha verso l'aspetto costruttivo e la giustificazione delle operazioni da eseguire con gli strumenti geometrici.
Sempre con la convenzione tipografica a cui abbiamo accennato, i primi passi sono l'introduzione di punto, retta e piano e la definizione delle operazioni che possiamo eseguire con la riga.

Assioma di appartenenza
Possiamo tracciare punti e rette
Assioma della riga
Possiamo tracciare la retta per due punti
Assiomi di ordinamento sulla retta (e definizione
di semiretta e di segmento)
Possiamo tracciare semirette e segmenti

Più complesso è il discorso che porta a introdurre la circonferenza e il compasso. Infatti, per formulare un assioma che definisca la circonferenza, è necessario parlare di congruenza, introducendo assiomaticamente (se non si vuole ricorrere al concetto di movimento rigido) le sue proprietà. Un possibile percorso è il seguente:

Assioma/assiomi della congruenza (relazione di equivalenza)
Assioma del compasso:
Si consideri un punto O del piano e il fascio di semirette di origine O. Su una si esse si fissi un
punto P.
Su ogni semiretta del fascio esiste uno ed un solo punto tale che il segmento che ha come estremi l'origine O e questo punto sia congruente ad OP.

Un assioma di questo tipo consente di introdurre il compasso per il tracciamento di una circonferenza (dato il centro e un suo punto), che viene caratterizzata dalla proprietà che tutti i suoi raggi sono segmenti congruenti. Questo non basta ancora: infatti dobbiamo descrivere come rette e circonferenze si intersecano.
Anche per questo serve un assioma.

Assioma sulle proprietà della circonferenza
(intersezione retta-circonferenza e tra due circonferenze)

Sono così definiti, a livello teorico, gli oggetti di base: punto, retta, circonferenza e sono caratterizzate le loro proprietà. Dal punto di vista costruttivo, abbiamo introdotto i nostri strumenti operativi:

• la riga per il tracciamento della retta;
• il compasso per il tracciamento di una circonferenza dato il centro e un suo punto;
  e caratterizzato le tre operazioni fondamentali di ogni costruzione geometrica:
• intersezione retta-retta
• intersezione retta-circonferenza
• intersezione circonferenza-circonferenza (vedi figura 1).

Figura 1 - Le operazioni fondamentali di una costruzione
geometrica
 

Questa situazione può essere "concretizzata" in Cabri con la definizione di un menu minimale (vedi [1]) o "menu zero" (vedi la figura 2), in cui sono presenti solo gli oggetti geometrici e le operazioni che abbiamo introdotto, oltre ad alcuni strumenti di Cabri, che possiamo considerare di carattere solamente tecnico:
1. Gli oggetti Punto/Punto su un oggetto, Retta, Segmento, Semiretta, Circonferenza;
2. L'operazione Intersezione di due oggetti;
3. La Ridefinizione di un oggetto, il menu per la definizione delle macro; gli strumenti di tipo "estetico" (Mostra/Nascondi, Colore, ecc.) o pratico (Nomi, Testo, Traccia, ecc.).

Figura 2 - Il menu zero

5. La prima costruzione: il triangolo equilatero
A questo punto abbiamo un (seppur minimo) bagaglio teorico e uno strumento pratico perfettamente "isomorfi". Con questo strumento siamo in grado di fare la prima costruzione: quella del triangolo equilatero di lato dato. Elenchiamo i passaggi di questa costruzione e la relativa giustificazione:

Costruzione

Segmento AB	dato iniziale
Circonferenza c di centro A e raggio AB	assioma del compasso
Circonferenza d di centro B e raggio AB	assioma del compasso
Punto C di intersezione delle circonferenze c e d	assioma (proprietà della circonferenza)
Segmenti AC e BC	assioma della riga

La dimostrazione del fatto che questa procedura ci porta ad ottenere l'oggetto desiderato è molto semplice.
I tre lati sono congruenti tra di loro; infatti:

Possiamo ora definire una macro Triangolo equilatero, assumendo come oggetto iniziale il segmento AB e come oggetti finali gli altri due lati del triangolo. Questa macro viene aggiunta al menu (ad esempio, mettendola tra le Costruzioni).
Anche qui abbiamo una sintesi tra l'aspetto teorico e quello pratico: la costruzione e la relativa dimostrazione hanno aggiunto un nuovo oggetto al nostro "sapere", mentre dal punto di vista costruttivo abbiamo acquisito una nuova abilità, che ora aggiungiamo al bagaglio del nostro "saper fare".

6. Il compasso e il trasporto di un segmento
Il compasso definito dall'apposito assioma ci consente di disegnare una circonferenza dato il suo centro e un suo punto. Dati un segmento e un punto, non è invece possibile tracciare una circonferenza di raggio congruente al segmento e avente centro nel punto.
Questa operazione, realizzabile con il compasso reale, non è infatti giustificata dagli assiomi che abbiamo introdotto. Lo strumento a nostra disposizione può essere chiamato "compasso collassabile", per indicare il fatto che, a differenza del compasso reale, non mantiene l'apertura quando viene sollevato dal foglio.
Il secondo passo del nostro percorso è la realizzazione del "trasporto di un segmento", utilizzando il compasso collassabile (si tratta, in altri termini, della dimostrazione del fatto che il compasso reale e quello collassabile sono equivalenti). Senza entrare nei dettagli di questa costruzione e della sua giustificazione (è la
Proposizione 2 del Libro Primo degli Elementi di Euclide), possiamo osservare un particolare molto importante: l'uso della macro Triangolo equilatero in uno dei primi passi:

È un fatto comune nella matematica che un risultato teorico diventi uno strumento per la dimostrazione dei teoremi che seguono nel percorso ipotetico deduttivo.
Allo stesso modo qui possiamo vedere come una macro, che sintetizza una costruzione, diventa uno strumento nelle costruzioni successive: anche in questo caso stiamo assistendo allo sviluppo parallelo dell'aspetto del "sapere" e di quello del "saper fare".
Dopo avere completato la costruzione possiamo definire una nuova macro, che chiamiamo compasso (notiamo che questa macro è presente nel menu Costruzioni di Cabri; per ora noi proseguiamo utilizzando quella definita da noi).
Il passo seguente è una applicazione quasi immediata del compasso: il trasporto di un segmento su una semiretta assegnata.

7. Le altre costruzioni fondamentali
A questo punto non possiamo proseguire nelle costruzioni, se non dopo avere introdotto un importante assioma: il primo criterio di congruenza dei triangoli o assioma LAL (abbreviazione di Lato-Angolo-Lato). A questo dobbiamo fare seguire il famoso " pons asinorum", il teorema che afferma che "In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti".
Questi strumenti teorici ci consentono di introdurre alcuni importanti oggetti della geometria euclidea: la bisettrice, il punto medio, l'asse e la perpendicolare. L'utilizzo di risultati acquisiti per la costruzione di nuovi oggetti è ancora una volta di fondamentale importanza: si pensi, come esempio, alla bisettrice che ci consente di definire il punto medio.
L'ultima costruzione di questo procedimento è quella della parallela. Anche qui servono degli sviluppi teorici intermedi che ci consentono di realizzarla e giustificarla.
Riassumiamo, con le solite convenzioni di notazione, nello schema seguente questa parte del percorso didattico.

L'assioma LAL
Il triangolo isoscele

Bisettrice
Punto medio
Asse
Perpendicolare

Il criterio ALA (e AAL)
Il criterio LLL
La parallela

Costruzione di una parallela

L'assioma della parallela: unicità della parallela
costruita

Con la costruzione della parallela si completa l'insieme delle costruzioni di base della geometria euclidea. Possiamo quindi parlare di un "menu euclideo completo", che contiene tutte le possibilità operative della riga e del compasso.
Questo menu consente di eseguire tutte le costruzioni dei parallelogrammi e dei punti notevoli dei triangoli, di studiare la circonferenza in molti suoi aspetti (le corde, gli angoli al centro e alla circonferenza, le rette tangenti) e di costruire alcuni poligoni regolari inscritti in una circonferenza. È possibile quindi percorrere un lungo cammino teorico, utilizzando questo menu per le
costruzioni.
Questa non è però l'unica scelta possibile, in quanto ci si può chiedere quando sia maggiormente opportuno introdurre la misura: molto avanti, come nella trattazioni tradizionali, oppure abbastanza presto?
Senza poter entrare nei dettagli, possiamo osservare come il desiderio di compiere un cammino parallelo tra teoria e pratica con Cabri, possa far propendere per una introduzione abbastanza precoce della misura. Questa scelta ha il vantaggio di mettere a nostra disposizione tutte le potenzialità del software. In particolare possiamo di affrontare alcuni argomenti di geometria euclidea, mettendo in evidenza collegamenti con altre parti del programma di matematica. Ad esempio, possiamo studiare graficamente la funzione che associa la misura di una corda alla sua distanza dal centro.
Il discorso su come introdurre la misura e come utilizzarla nell'ambito di un corso di geometria "essenzialmente euclidea" porterebbe però troppo lontano e sarà trattato in un altra sede.

Bibliografia
[1] P. Boieri, M. Cazzanelli, Cabri e le costruzioni con riga e compasso, in P. Boieri (a cura di) Fare geometria con Cabri, Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin, G. Battaglin Editore, S Zenone degli Ezzelini 1996, pp. 53-66.

[2] P. Boieri, C. Dané, Geometria con Cabri - Costruire, scoprire e dimostrare, Loescher 2003.

[3] Euclide, Gli Elementi (a cura di Frajese A. e Maccioni M.), UTET 1970.

[4] L. Tomasi, Elenco di siti Internet su Cabri géomètre, http://kidslink.scuole.bo.it/cabri/risorse.html

[5] R. Trudeau, La rivoluzione non euclidea, Bollati Boringhieri 1991.