Le origini del calcolo delle probabilità

Articolo originale di Maurice G. Kendall, tradotto da Enzo Lombardo

Ben prima del Medio Evo, il gioco era diffusissimo in Europa. Ad un certo momento, ignoto, i dadi alla fine rimpiazzarono gli astragali come strumenti di gioco e, dal momento che le carte da gioco non apparvero sin verso il 1350, i giochi per un migliaio d'anni dovettero essere condotti prevalentemente con i dadi. Gli sforzi della Chiesa e dello Stato per controllare i mali associati al gioco furono tanto infruttuosi quanto lo sono al giorno d'oggi e nulla è più indicativo del persistere delle scommesse dei continui tentativi per prevenirli.
Il sermone di San Cipriano da Cartagine De Aleatoribus (c. 240 D.C.) trovò eco dodici secoli più tardi nel più famoso sermone di San Bernardino da Siena Contra aleatorum ludus del 1423. Le scommesse dei germani cui si riferisce Tacito forse potrebbero essere divenute più moderate ma erano altrettanto importanti nel secolo XIII quando Federico II (1232) promulgò la legge de aleatoribus e Luigi IX (1255) emanò la proibizione non solo del gioco ma persino della costruzione dei dadi. Una lunga serie di editti che proibivano al clero di giocare (per esempio, di Otto der Grosse, del 952, del Concilio di Trevi, del 1227 e 1238, del Concilio di Worcester del 1240) sono di per sé eloquenti del fallimento di reprimere il male da parte delle autorità.

Tutte queste proibizioni e questi bandi in realtà non erano diretti contro i giochi di sorte tal quali ma contro i vizi che li accompagnavano. Sembra che non vi sia stata alcuna empietà nel creare eventi casuali o nell'impiegarli per divertimento. La Chiesa era molto più interessata al bere e alla bestemmia, che si associavano al gioco, e lo Stato molto più coinvolto per l'ozio, per l'assenza di attenzione per i beni e per il crimine che così spesso si rinvenivano fra i giocatori. Nel Pardoner di Chaucer si trova espresso il punto di vista ufficiale dei suoi giorni, dando un esempio di blasfemia che solitamente accompagnava un gioco con scommessa, quasi certamente d'azzardo.

By Goddës precious heart and by his nails
And by the blood of Christ that-is in Hayles
Seven in my chance, and thine is cinq and trey.
By Goddës armës, if thou falsely play
This dagger shall throughout thine hertë go!
This fruit cometh of the bitchëd bonës two:
Forswearing, irë , falseness, homicide.

Persino gli scacchi, il più innocente di tutti i giochi, venivano posti fra i vizi maggiori, almeno per i servitori dello stato. L'interdizione di Luigi IX dianzi ricordata dice : "si asterranno […] dai dadi e dagli scacchi, dalla fornicazione dal frequentare taverne. Case da gioco e fabbriche di dadi sono proibite in tutto il regno".

San Bernardino enumerava dettagliatamente quindici "malignitates impiissimi ludi" ma si tratta sempre di mali morali (cupidigia di guadagno, ozio, corruzione della gioventù, ecc.) ad eccezione della blasfemia e dal disprezzo per l'interdizione della Chiesa. Si ha l'impressione che, se vi fosse stato qualcosa da dire sull'empietà di elicitare eventi casuali per un innocente passatempo, il santo non avrebbe mancato di parlarne. L'attitudine generale sembra sia stata la tolleranza dell'effettivo gioco, ma la fiera opposizione ai vizi associativi.
V'è qualche prova positiva che va nella stessa direzione. All'incirca nell'anno del Signore 960 un certo vescovo Wibold da Cambray inventò una versione clericale dei dadi alla quale farò riferimento più tardi; evidentemente questo sagace e pratico religioso riconobbe l'impossibilità di porre definitivamente fine al male e così tentò di volgerlo al bene. I partecipanti alla terza Crociata (1190) disponevano, fra le loro istruzioni essenziali, di una affermazione scritta relativa ai limiti sino ai quali avrebbero potuto scommettere: a nessuno al di sotto del rango di cavaliere era permesso giocare per soldi; i cavalieri e i religiosi potevano giocare ma non avrebbero potuto perdere più di venti scellini in ventiquattro ore. Chaucer, nel Franklin's Tale, riferisce del giocare a scacchi o alle tavole (backgammon) con il lodevole intento di alleviare le pene dello sconsolato Dorigene.

Possiamo anche notare una serie di leggi, ad iniziare dal regno di Edoardo III, che proibiscono certi giochi per sostenere sport maschili. Un atto di Enrico VIII aggiunse carte e dadi alla lista dei divertimenti proibiti per legge, anche se Enrico - come molti altri monarchi - costituiva un cattivo esempio al riguardo. Queste leggi avevano origini militari, e la gente comune non doveva sprecare il divertimento giocando a giochi pacifici come le bocce, i birilli, l'hockey e i dadi in quanto il loro dovere consisteva nel praticare il tiro con l'arco per prepararsi alla prossima guerra.

Ho ricordato tali fatti per stabilire due punti.

• Il gioco con i dadi (o più tardi con le carte) continuò senza interruzione, dai tempi dei romani sino al Rinascimento e fu praticato non solo dalle classi elevate ma anche dalla classe media e dalle classi basse.
• Sebbene vari governi e la Chiesa scoraggiarono il gioco sino a proibirlo, una grande quantità di giochi fu praticata sia come innocente passatempo sia in sfida alla legge, con l'approvazione popolare. 

Uno degli aspetti esasperanti dei molti riferimenti a giochi di dadi fra il 1000 ed il 1500 sta nel fatto che invariabilmente gli autori presumono che i loro lettori siano familiari con i giochi che considerano e, di conseguenza, non fanno riferimento alle regole dei giochi presentati. Siamo così del tutto al buio sull'esatta natura dei giochi che venivano praticati. Ve ne sono due, in particolare, che hanno una lunga ed interessante storia:

l' hazard, antecessore del moderno gioco detto crap
e il primero, antecessore del poker.

E' istruttivo considerare succintamente le loro linee di sviluppo.

I romani giocavano con quattro tali (astragali) ma con solo tre tesserae (dadi). In qualche momento antico sono menzionati giochi con due soli dadi, per esempio il vescovo Eustachius, in un commento all'Odissea, scritto nel 1180, si riferisce a giochi con due dadi. Anche il passo di Chaucer, dianzi citato, fa riferimento a due dadi. Nel 1707 Montmort scrisse sul "le quinquenove, le jeu de trois dez et le jeu du hazard. Le deux premier sont les seules jeux de dez qui soient en usage en France, le dernier n'est commun qu'en Angleterre". Entrambi, il quinquenove e l'hazard, erano giocati con due dadi e tutti e tre sono varianti della stessa idea.

L'hazard, nome del gioco distinto dalla moderna accezione di caso, fu portato in Europa, credo, dagli uomini della terza Crociata. Goffredo di Buglione ci dà una falsa derivazione : "À Hazait [Hazar] s'en ala ung riche mandement, et l'apiel - on Hazait pour le fait proprement que ly dés fu fais et poins premierment." Non può esservi che un residuo dubbio che il nome derivi dall'arabo al zhar (dado). Quale che sia la sua origine, sia il nome sia il gioco devono essersi diffusi rapidamente in Europa. Il racconto di Jean Bodel Le jeu de Saint Nicolas, ascritto al 1200, si riferisce all'hazart. Salimbene (figlio di un crociato) , scrivendo circa nel 1287, riferisce del giocare "ad azardum alias taxillum". Dante nel Purgatorio, scritto tra il 1302 e 1321 si riferisce a azar, e Chaucer (circa nel 1375) impiega la parola più volte. Le regole esatte del gioco non sono registrate, per quanto sappia, e senza dubbio vi furono molte varianti. Ma il riferimento a Chaucer appena fatto suggerisce che le caratteristiche essenziali del moderno craps erano presenti sin dall'origine; la somma dei punti sui due dadi e le chance di ciascun giocatore vengono chiaramente indicate.

Si sarebbe potuto supporre nel migliaio di anni che precedettero, diciamo, il 1400, che qualche idea della costanza dei rapporti statistici e i rudimenti della teoria delle frequenze avrebbe potuto apparire. Non conosco nessuna prova che suggerisca che sia stato così.
Sino al secolo XV troviamo poche tracce del calcolo delle probabilità e, invero, poco che suggerisca l'emergere dell'idea che fosse possibile un calcolo sui risultati dei dadi. Potrebbe essere che i giocatori avessero un'approssimativa idea delle frequenze relative d'occorrenza - difficilmente si vede come avrebbero potuto mancare di cogliere tale idea - e come vi sia qualche prova della costruzione di dadi distorti sin dai tempi dei romani. Presumibilmente era presente la nozione complementare di lanci corretti. Potrebbe anche essere che qualche persona intelligente abbia sviluppato gli elementi di una teoria per se stesso, ma deve aver tenuto per sé il segreto a motivo del valore monetario. Tuttavia in effetti non lo credo; altre persone provarono più tardi a fare lo stesso ma senza stabile successo.

Il più antico lavoro che conosco e che sembrerebbe aver enumerato i modi in cui i dadi possono cadere è il gioco inventato da Wibold e dianzi citato. Per quanto sappia nessun manoscritto coevo ci è pervenuto, ma una spiegazione del gioco (molto oscura, sia detto) fu data nell'undicesimo secolo dal cronachista Baldericus, il cui lavoro fu pubblicato per la prima volta nel 1615. Wibold enumera 56 virtù, ciascuna corrispondente a ciascuno dei modi in cui tre dadi possono essere lanciati, a prescindere dall'ordine. Con ogni evenienza un monaco tirava un dado tre volte, oppure tre dadi, e sceglieva quindi una virtù particolare da praticare nelle 24 ore successive. Non ha l'aspetto di un gioco ma forse ho mal compreso il resoconto di Baldericus. Il punto importante tuttavia è che le partizioni delle scoperte dei dadi erano enumerate correttamente; non v'era alcun tentativo di stabilire le relative probabilità.

L'impiego dei dadi con lo scopo di scegliere fra un certo numero di possibilità potrebbe essere molto più antico di Wibold e certamente continuò molto dopo i suoi tempi. Vi sono parecchi poemi medioevali inglesi che illuminano l'interpretazione da dare ai lanci di tre dadi. Quello meglio conosciuto è il Chaunce of the Dyse, in rime reali (stanze di sette versi così rimati (ababbcc) [n.d.c.]) . Tali poemi furono senza dubbio utilizzati per forme elementari di lettura della fortuna: si tiravano i dadi per scegliere la frase adatta a ciascuno. Il punto da notare è che, per ragioni puramente di astragalomanzia, i differenti possibili lanci venivano enumerati e conosciuti senza alcun riferimento al gioco o a basi probabilistiche.

Una simile idea viene presentata nel sermone del 1423 di San Bernardino che opera una comparazione molto dettagliata della Chiesa di Cristo e della chiesa di Satana rappresentata, nella circostanza, dal gioco. La Chiesa corrisponde alla casa da gioco, l'altare alla tavola da gioco, i calici sacrificali al bossolo dei dadi e così via. Nel mezzo di tutto questo nonsenso capita un passo che ci ricompensa un po' per il doverlo leggere. "Il messale lo comparo ai dadi poiché per flessibilità, permanenza e scopo non è in alcun modo inferiore al messale di Cristo stesso; e proprio come il messale è composto con un singolo alfabeto di ventuno lettere, così nel [gioco dei] dadi ci sono ventuno lanci".
I ventuno possibili lanci sono senza dubbio quelli con solo due dadi. Numero, questo, corretto nell'interpretazione dell'indistinguibilità delle partizioni. Non si può migliorare e va ammirata la sagacia della comparazione o figurarsi cosa il Santo avrebbe detto se avesse dovuto trattare con i vangeli in greco o in aramaico.

Il più antico modo di contare il numero dei modi in cui tre dadi possono cadere (incluse le permutazioni) sembra capiti nel poema latino De vetula. Questo notevole lavoro per qualche tempo è stato ascritto ad Ovidio e incluso in alcune edizioni medioevali dei suoi poemi. L'ascrizione è comunque solo supposta e sono stati proposti diversi altri candidati come autori.
Fra questi Richard de Fournival (1200-50) è il preferito; egli era un dotato umanista del Medio Evo e Cancelliere della cattedrale di Amiens. Se ciò risultasse corretto, il poema dovrebbe essere stato scritto fra il 1200 ed il 1250 e contiene un lungo passaggio che tratta di passatempi e di giochi ed in particolare di giochi di dadi. Forse vale la pena dire per esteso cosa è il primo calcolo conosciuto del numero di modi di lanciare tre dadi. Il passaggio rilevante può essere spiegato, in breve e liberamente, come segue:

Se tutti e tre i numeri sono uguali vi sono sei possibilità; se due sono uguali e l'altro è differente ci sono 30 casi, in quanto le coppie possono essere scelte in sei modi e l'altro in cinque; se tutti e tre sono differenti ci sono 20 modi poiché vale 30 per 4 vale 120 ma ciascuna possibilità nasce in 6 modi. Ci sono 56 possibilità.
Ma se tutti e tre sono uguali v'è un solo modo per ciascun numero; se due sono uguali ed uno differente vi sono tre modi; e se tutti sono differenti vi sono sei modi. La figura mostrata esibisce i vari modi.

[Segue, ma non viene esplicitato, che il numero totale di modi vale:

(6 ´ 1) + (30 ´ 3) + (20 ´ 6) = 216. ]

Esiste una traduzione medioevale del De vetula in francese, edita e pubblicata nel 1862 da H. Cocheris, il principale responsabile dell'idea che de Fournival ne fosse l'autore. La traduzione si prende libertà considerevoli rispetto al testo originario e non è sempre facile trovare l'accordo. Il poema viene attribuito al secolo XIV. Per quanto possa vedere il traduttore sembra aver fallito nel comprendere il punto principale: enumera semplicemente i 16 punteggi possibili con tre dadi e rileva che alcuni d'essi capitano più di frequente di altri. Il passaggio essenziale del De vetula è andato perso.

Nel sesto canto del Purgatorio Dante menziona il gioco dell'hazard.

Quando si parte il gioco della zara
Colui che perde si rimane dolente
Ripetendo le volte e tristo impara

Un commento a questo passo pubblicato nel 1477 dice

Con riguardo a questi lanci si deve osservare che i dadi sono quadrati e ogni faccia può venire, così che un numero che può apparire in più modi [come somma dei punti sui tre dadi] deve capitare più di frequente, come nel seguente esempio: con tre dadi, tre è il più piccolo numero che può essere lanciato e ciò quando tre "uno" si mostrano; il quarto può solo venire in un modo, vale a dire con un due e due assi.

A questo punto l'autore sembra essere al bordo dell'usuale fallacia che vuole che il tre occorra tanto frequentemente quanto il quattro. Ma - più per fortuna che per scienza, secondo me - cambia direzione rispetto al punto e prosegue: "e così, come questi numeri possono accadere in un solo modo a ciascun lancio, per schivare il tedio di un'attesa troppo lunga, non sono contati nel gioco e vengono chiamati azzardi (hazards). E così per il 17 e 18…. I numeri fra questi possono capitare in più modi; il numero che può capitare nel maggior numero di modi viene detto il miglior lancio dell'insieme".

Da questi passaggi appare chiaro che, a partire dalla fine del Quattrocento, i fondamenti della dottrina del caso erano stati posti. La necessaria concettualizzazione del dado perfetto e l'uguale frequenza di occorrenza di ciascuna faccia sono esplicite. L'idea di associare i coefficienti binomiali agli eventi con due o più dadi al fine di calcolare la loro frequenza relativa di occorrenza si era manifestata nel De vetula, ma sembra sia stata persa di vista. Non prima del 1556 Tartaglia aveva pubblicato lo schema ora noto, molto ingiustamente, come triangolo aritmetico di Pascal, e non in un contesto probabilistico. Cionondimeno, se è il primo passo che conta, quel passo era già stato fatto a partire dal 1500.

Sebbene il passo pionieristico del De vetula non sembra noto agli scrittori successivi nei due secoli seguenti, l'idea di enumerare i modi di ottenere un dato punteggio, quando vengano tenute presenti le permutazioni, deve essere stato riscoperta all'inizio del secolo XVI in quanto il De ludo aleae di Cardano contiene le idee essenziali e, per prove interne, deve essere stato scritto intorno al 1526. Abbastanza stranamente comunque troviamo i primi problemi di probabilità, sino ad ora notati nei documenti, in un contesto abbastanza differente.

Fra Luca del Borgo, ovvero Pacioli, era un insegnante di Matematica itinerante, la cui Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, pubblicata nel 1494, venne ampliamente studiata in Italia.
Egli considerò una semplice versione di ciò che più tardi divenne noto come problema dei punti: A e B giocano ad un gioco equo (non dadi, ma balla, verosimilmente un gioco di palla) e si accordano nel continuare sino a quando uno vince sei partite, ma la competizione deve essere interrotta quando A ha vinto 5 partite e B 3. Come dovrebbe essere ripartita la posta?

Pacioli fa sì che il problema sembri più difficile di quanto non sia, ma la sua soluzione si compendia nel dire che le poste dovrebbero esser suddivise nella proporzione di 5 a 3. L'errore fu notato da Tartaglia nel suo monumentale General Trattato del 1556 (dato che, possiamo notarlo, è più tardi di 30 anni rispetto al momento in cui Cardano afferma di essere in possesso dei principi di base incorporati nel suo De ludo aleae). Tartaglia era sempre soddisfatto nell'evidenziare gli errori di Pacioli con un'acida superiorità che prefigura molti dei moderni scritti in probabilità e statistica. Sarebbe stato più giustificato in tale occasione se la soluzione alternativa da lui sostenuta fosse stata corretta, e non lo è. Rimarca che secondo la regola di Pacioli se A avesse vinto una partita e B nessuna, A dovrebbe prendere tutta la posta, ciò che è chiaramente ingiusto. Argomenta allora che la differenza fra il punteggio di A (cinque) e quello di B (tre) vale due, ed essendo questo 113 delle partite necessarie per vincere (sei), A dovrebbe ritirare 113 della parte di B e la posta totale dovrebbe essere divisa nel rapporto 2:1. Almeno così interpreto la sua discussione piuttosto prolissa. Ne seguirebbe che se A ha vinto x partite e B y, quando si richiede di vincere complessivamente z partite, la regola di Tartaglia implica che A prenda per sé la proporzione 1/2 + (x-y)/2z della posta.

Due anni dopo il Trattato apparve un breve scritto di G. F. Peverone Due brevi e facili trattati, il primo di Arithmetica, l'altro di Geometria. Nel primo Peverone considera un problema simile senza citare altri autori. Dà due esempi che effettivamente sono uguali e argomenta in questo modo:

A dovrebbe mettere 2 scudi e B 12 [o equivalentemente la posta dovrebbe essere divisa nella proporzione 1:61 "Se giuocassero a 1 giuoco, basterebbero scutti 2[ovvero dividere la posta in ugual proporzione]; et a due giuochi 6, per che vincendo solo 2 giuochi guadagnerebbe scutti 4; ma questo sta con pericolo di perdere il secondo, vinto il primo: però deve guadagnare scutti 6, et a 3 giuochi scutti 12, per che si inddoppia la difficoltà e pericolo."

Ritengo che questo sia stato uno dei risultati mancati per pochissimo in matematica. Per la seconda partita l'argomentazione è corretta. Se a B manca una partita e scommette 2 scudi allora per A:

- mancandogli una partita, scommette 2 scudi
- mancandogli due partite, scommette 2 + 4 = 6 scudi
- mancandogli tre partite, scommette 2 + 4 + 8 = 14 scudi

e così via. Peverone era perfettamente a conoscenza delle progressioni geometriche e impiega il termine progressione in una esposizione della sua risposta a questo problema. Avendo ottenuto la scommessa di 6 scudi da parte di A, quando gli mancano due partite, se fosse rimasto ancorato alla sua regola e considerato la probabilità condizionata di vincita più attentamente, avrebbe risolto questo semplice caso del problema dei punti, sostanzialmente quasi un secolo prima di Pascal e Fermat.

Gli studiosi delle moderne versioni di hazard e primero sono stati colpiti dal giudizio accurato delle probabilità che i giochi incorporano. .La probabilità di successo del primo giocatore a craps, per esempio, dovrebbe essere 1/2 ed effettivamente è 244/493 ; i valori relativi del colore e della scala a poker sono corretti non è intuitivamente chiaro quale dovrebbe essere l'ordine. Sembra, comunque, che questa situazione sia stata raggiunta empiricamente e non a calcolo. Fortunatamente Cardano ci ha dato una spiegazione del primero secondo quanto gli era noto. Gli 8, i 9 e i 10 venivano tolti dal mazzo di 52 carte, lasciandovene 40. Quattro venivano distribuite, due per volta. Le carte possedevano valori specifici: il due valeva 12, il tre 13, il quattro 14 ed il cinque 15, il sei valeva 18, il sette 21 e l'asso 16, mentre le figure 10.
V'erano cinque combinazioni:

b) Primero (tutte le carte di colori differenti)

c) Supremus (nella stessa mano v'erano le tre carte 7, 6 e asso)

d) Fluxus (quattro carte dello stesso colore)

e) Chorus (tutte le carte dello stesso valore)

La mano veniva valutata in quest'ordine: Primero batte Numerus e così di seguito. Le categorie non si sovrappongono e, se due giocatori avevano la sessa combinazione, la mano distribuita per prima vinceva a prescindere dalla sua combinazione.
Ora le chance di questi eventi, o meglio il numero di modi in cui possono capitare a seguito di una distribuzione casuale, sono: