Una matematica da Champions

L’ultimo atto della Champions League 2024/2025 è alle porte. La finale di calcio si disputerà il 31 maggio, presso l’Allianz Arena di Monaco di Baviera e a contendersi il trofeo più ambito del calcio europeo saranno il Paris Saint-Germain e l’Inter. Non solo i tifosi delle due squadre stanno fremendo, parallelamente anche il mondo delle scommesse impazza!

Ma che legame c’è fra scommesse e matematica? La risposta sta nella probabilità, siamo infatti davanti a un evento non deterministico, ovvero non sappiamo a priori come andrà a finire e possiamo fare solo delle ipotesi su quanto potrà accadere e assegnare un valore agli eventi che possono realizzarsi. Ed è quello che fanno gli allibratori con le quote delle scommesse, a seconda che vinca una o l’altra squadra assegnano una certa vincita proporzionale alla somma scommessa. Ma questo processo non è altro attribuire una probabilità a degli eventi. Cerchiamo quindi di capire quali sono le probabilità che il mercato delle scommesse destina alle due squadre.

Consideriamo le quote dei bookmaker: la vittoria del PSG è data 1,65 e la vittoria dell’Inter 2,25. Cioè, se puntiamo un euro sui neroazzurri, in caso di vittoria, portiamo a casa 2 euro e 25 centesimi.

Costruiamo adesso lo spazio matematico dove fare i nostri conti. In probabilità si dice che ci sono due eventi elementari possibili: “Inter vince” e “PSG vince”, ovvero i possibili esiti della situazione in analisi. E siccome la vittoria di una squadra corrisponde alla sconfitta dell’altra, possiamo riscriverli come “Inter vince” e “Inter perde”. Questi due eventi vanno a costituire un insieme, detto spazio campionario, Ω={“Inter vince”, “Inter perde”}. Ma siccome vogliamo scommettere, allora questo insieme non basta e vogliamo considerare tutti i possibili eventi che si possono considerare. Si deve costruire un nuovo insieme A={∅, “Inter vince”, “Inter perde”, Ω} ottenuto dalle unioni degli eventi elementari e dai loro complementari. In particolare Ω (omega) rappresenta l’evento “Inter vince o perde” ed è detto evento certo (una delle due situazioni si realizzerà) e ∅ (l’insieme vuoto) è invece il suo complementare, cioè l’evento “Inter non vince e non perde” che sicuramente non ha possibilità di realizzarsi. Questo insieme in matematica è detto algebra e si costruisce a partire da un numero di eventi proprio attraverso le operazioni insiemistiche di unione e complementare. Adesso cerchiamo le probabilità e iniziamo trasformando le quote:

Prob(Inter vince) = 1/(2,25) ≈ 0,4444 = 44,44%

Prob(Inter perde) = 1/(1,65) ≈ 0,6061 = 60,61%

Ci accorgiamo subito che c’è qualcosa di strano. Se facciamo la somma si ottiene 44,44%+60,61=105,05% e sappiamo invece che al massimo deve venire 100%!

Che cos’è quel 5,05% di troppo? È il ricarico dei bookmaker, perché, comunque vada, il banco vince sempre! Ovvero gli scommettitori “sopravvalutano” le probabilità degli eventi al fine di avere un guadagno garantito da ogni scommessa.

Calcoliamo allora le probabilità corrette, riscalandole rispetto alla quota del banco:

Prob(Inter vince) = 44,44/105,05 ≈ 0,423 = 42,3%

Prob(Inter perde) = 60,61/105,05 ≈ 0,577 = 57,7%

Abbiamo quindi costruito una probabilità, ovvero una funzione che ad ogni elemento dell’insieme degli eventi A associa un numero compreso tra 0 e 1, infatti:

Prob(∅) = Prob(Inter non vince e non perde) = 0 = 0%

Prob(Inter vince) = 0,423 = 42,3%

Prob(Inter perde) = 0,577 = 57,7%

Prob(Ω) = Prob(Inter vince o perde) = 1 = 100%

Purtroppo per i tifosi neroazzurri le previsioni sono favorevoli al PSG, ma tutti sappiamo che la palla è rotonda e che vinca il migliore!