Évariste Galois: il personaggio e il lavoro

Évariste Galois è un personaggio unico nel panorama matematico, appassionato e sensibile, consapevole della propria genialità, coinvolto profondamente dalla passione politica del tempo. Tormentato dalla mancanza di riconoscimenti ufficiali, dalla insofferenza di fronte alle ingiustizie, dal suicidio del padre assurdamente provocato per ragioni politiche, è un eroe romantico della prima metà dell’800, come altri a quel tempo. Gli eroi romantici morivano giovani, in duello, e questa sarà la sua sorte, poco più che ventenne, nel 1832. Nel 1837 morirà in duello anche Puškin (a 38 anni), nel 1841 è la volta di Lermontov (a 27 anni). Puškin e Lermontov erano poeti… di solito questa invece non è la sorte dei matematici.

Per questo Galois occupa un posto particolare nell’inconscio collettivo di chi si occupa di Matematica. La sua storia tragica, accostata alla genialità ed all’attualità delle sue idee, alimenta una vicenda che non sembra finire.

A Galois sono stati dedicati almeno un paio di film, numerose biografie, commedie. Anche qualche romanzo si è recentemente ispirato a lui (e qualche autore riconosce in Galois un giovane personaggio de I miserabili di Hugo, Gavroche, che partecipa ai disordini parigini del luglio 1832). In tutte queste rievocazioni, Galois appare sempre come una persona fuori dal proprio tempo. Le persone di genio hanno spesso questo di particolare: che non sembrano adattarsi al mondo in cui vivono. I loro interessi, la rapidità con la quale si appropriano dei concetti, la generalità delle idee che alimentano le loro concezioni, li rendono spesso incapaci di accontentarsi di quanto basta ad altri. Repubblicano (secondo qualcuno, rivoluzionario) quando in Francia era in corso una forte restaurazione monarchica dopo le vicende napoleoniche. Geniale matematico che tuttavia non favorisce in nulla la comprensione delle proprie idee: il suo articolo fondamentale avrà delle vicissitudini grottesche – smarrito fra le carte di Fourier che muore prima di poterlo valutare, disperso fra quelle di Cauchy che forse gli consiglia dei miglioramenti, recensito infine da Poisson e da Lacroix i quali onestamente ammettono di non essere in grado di capirlo. Conclusione: “Nel presente stato non possiamo accettarlo”. E infatti, per comprenderlo compiutamente ed apprezzarlo, occorreranno tre generazioni di matematici.

Mediocre studente e indifferente agli obblighi scolastici (gli interessava solo la Matematica), all’età di quindici anni legge i lavori dei maggiori matematici del tempo (Lagrange, Gauss, Abel) ma litiga con la commissione esaminatrice dell’École Polytechnique (ai cui membri si considerava infinitamente superiore) in modo che la sua ammissione viene respinta definitivamente e deve ripiegare sulla meno famosa École Normale (dalla quale verrà comunque presto espulso), dedicata a quel tempo alla preparazione dei futuri insegnanti. In effetti, non è difficile pensare che il suo atteggiamento fosse alquanto indisponente. Era certamente, e giustamente, convinto dell’importanza dei risultati che aveva maturato sulle equazioni algebriche ed altrettanto certamente viveva le vicende del tempo con un senso di ingiustizia sempre presente. Con ogni probabilità – è stato detto – la sua visione era quella di una società nella quale il genio viene sistematicamente scoraggiato a vantaggio della mediocrità, della routine e dell’abitudine. Non solo in Matematica.

Dal padre, sostenitore della Repubblica e sindaco del proprio villaggio nel periodo della Restaurazione, e dallo zio paterno (ufficiale napoleonico) prende la passione politica e comincia ad accostarsi al movimento repubblicano. Durante i moti del 1830, tesi a respingere l’intenzione del re Carlo X di abolire la libertà di stampa, ha i primi contrasti con le autorità. Ma non si piega. Al contrario, aumenta la propria posizione radicale e intransigente. Passa per motivi politici in prigione quasi tutto l’ultimo anno di vita e poi, appena uscito, a quanto pare cade – ma le vicende sono molto oscure – nel tranello di un duello che forse è stato organizzato appositamente per eliminarlo.

Alla vigilia del duello, con il presentimento della morte, scrive furiosamente alcune lettere, riassume i risultati delle proprie ricerche e nota in margine “Non ho tempo, non ho tempo…”. E anche, con rimpianto: “Mantenete la mia memoria, perché la sorte non mi ha dato abbastanza vita affinché la patria conosca il mio nome”. Le sue ultime parole pubbliche sono quelle della lettera che scrive all’amico Auguste Chevalier la notte prima del duello. Il presagio della morte e della sua inevitabilità sono immanenti e la lettera termina in questo modo: “Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità, ma sull’importanza dei teoremi. Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio”.

E. Delacroix, La libertà che guida il popolo (1830). Nel celebre dipinto, ispirato alle giornate rivoluzionarie del 1830, tra gli insorti che rappresentano le diverse classi sociali si riconosce un giovane con il berretto dell’École Polytechnique

Insomma, più della vita, gli premeva il riconoscimento delle proprie idee. Il suo articolo fondamentale sulla risolubilità algebrica delle equazioni, conservato dall’amico Chevalier, sarà pubblicato nel 1846 – 14 anni dopo la morte – sulla rivista di Liouville e presto verrà considerato, letto, sviluppato e interpretato in tutti i Paesi. Nasce la teoria di Galois, come metodo e come principio che si estende a condizioni più generali del contesto originario, ed eserciterà un’influenza decisiva su molti fenomeni del mondo matematico. Oggi, tecniche e risultati che si richiamano a Galois compaiono in numerosi articoli e libri, in problematiche che traggono solo l’ispirazione dalla sua “teoria” ma che peraltro sono ben lontane da quelle originali relative alle equazioni algebriche. È una svolta decisiva nella concezione dell’Algebra.

Quella che chiamiamo Algebra moderna – tanto per intendersi e per distinguerla dall’Algebra elementare che si studia nel normale ciclo scolastico – è un complesso di metodi e regole formali più attento alla struttura degli oggetti matematici ed alle loro trasformazioni che alla loro origine ed alla loro natura, che solitamente vengono considerate in altri ambiti. Questo cambiamento di prospettiva – dal calcolo sulle quantità all’analisi delle strutture – è un processo che ha richiesto un centinaio d’anni, fra Otto e Novecento, ed ha coinvolto numerosi ed eccellenti matematici. A differenza di fenomeni analoghi che hanno avuto luogo in Matematica e che in un certo senso “erano nell’aria” e sono difficili da attribuire ad un singolo autore, in questo caso l’origine – chiara e riconosciuta da tutti – si trova in un lavoro di Évariste Galois dal titolo “Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux”, scritto, riscritto e rivisto fra il 1830 ed il 1832 ma pubblicato solo nel 1846.

Certamente Galois non intendeva cambiare l’Algebra o rifondare alcunché. Del resto, ha avuto una vita molto breve: è morto in duello quando non aveva ancora compiuto ventuno anni e non ne avrebbe avuto materialmente il tempo. La sua “opera completa” non consiste di molte pagine: oltre all’articolo per cui è diventato famoso, contiene alcuni articoli di rilievo minore (per così dire), alcuni appunti di difficile decifrazione, chiaramente scritti per se stesso ma che gettano tuttavia una luce di grande interesse sulle ricerche che aveva in mente e sulle potenzialità del suo lavoro, e una lunga, appassionata ed interessante lettera scritta ad un amico la notte prima del duello nella quale riassume le vicende ed il senso dei propri lavori. Un vero testamento scientifico e spirituale.

Come è chiaro dal titolo, in “Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux”, Galois fornisce un metodo per affrontare uno dei problemi fondamentali dell’Algebra di allora (e forse dell’Algebra di sempre fino ad allora): la risoluzione delle equazioni dei vari gradi per mezzo delle operazioni razionali e le estrazioni di radici di indice qualsiasi (ovvero – come si dice – “per radicali”). Non tanto trovare delle formule risolutive come quelle che, fin dal ‘500, si conoscevano per le equazioni di terzo e quarto grado, quanto più in generale studiare le condizioni di risolubilità delle singole equazioni di grado superiore.

Il fatto è che il metodo utilizzato da Galois si è alla fine dimostrato più interessante del problema stesso. Oggi nessuno usa più – in generale – le formule risolutive: tuttavia il loro studio ha prodotto molta Matematica significativa ed importante (ad esempio, ha portato ad introdurre i numeri complessi). Allo stesso modo, anche se ormai è entrato profondamente nella coscienza dei matematici il fatto che, in generale, le equazioni di grado superiore al quarto non sono risolubili per radicali, proprio qui è l’origine di nuove nozioni come quelle di gruppo e di campo e, in definitiva, della nuova Algebra. Attualmente, più che la condizione trovata da Galois, ciò che interessa è tutto il complesso di metodi e nuovi oggetti matematici che viene chiamato ad agire.

Oggi, a noi, il metodo introdotto da Galois appare del tutto naturale: è quello di associare ai dati immediati di un problema un differente oggetto matematico nel quale vengono riassunti e rimangono isolati gli aspetti essenziali, messi in tal modo in primo piano ed al riparo da possibili distorsioni e rumore. I rapporti fondamentali relativi al problema si concentrano nelle relazioni interne agli elementi del nuovo oggetto, nella sua struttura. Nel caso di Galois, all’equazione algebrica ed all’insieme dei dati che la riguarda (ad esempio il dominio numerico dei coefficienti o le variabili intermedie che occorre determinare per giungere alla soluzione), è associato un gruppo che tiene conto delle possibili “simmetrie” delle radici.

Quello che Galois ha capito è che le radici di un polinomio irriducibile su un

dato campo numerico sono “indistinguibili” algebricamente, vale a dire per mezzo di funzioni razionali a coefficienti in quel campo. Se però si estende il dominio numerico in modo da rendere riducibile l’equazione, si riesce a “rompere” la simmetria delle radici ed a fare in modo che ne emerga qualcuna e sia possibile distinguerla dalle altre.

Il gruppo di Galois dell’equazione, come in seguito verrà chiamato in suo onore, è il gruppo di quelle permutazioni che conservano le relazioni algebriche fra le radici ed è il primo “gruppo” in senso tecnico a fare la propria comparsa nel panorama del mondo matematico. In questo modo, non solo il metodo è importante ma lo sono anche gli oggetti che intervengono: in particolare gruppi e campi numerici. I gruppi sono ormai chiamati a formalizzare la nozione di “simmetria”: in teoria dei gruppi, settore dell’Algebra nel quale si svolge una intensa attività, risulta utile come guida concettuale l’idea che “ogni gruppo è un gruppo di simmetria” di qualche oggetto mentre la nozione di campo riprende e riassume tutto il portato tradizionale e universale dell’Aritmetica esteso a un livello di generalità molto superiore.

Ma la storia non è finita. In particolare, va notato che i suoi lavori, insieme ai risultati di Ruffini e Abel che negano la possibilità di risolvere per radicali le equazioni di grado superiore o uguale al quinto, non mettono fine alla ricerca delle soluzioni di queste equazioni con altri metodi. In parallelo alla ricerca di algoritmi sempre più potenti di soluzione numerica, entrano in azione nuovi strumenti che ne estendono il dominio di risolubilità. In particolare, nel 1858, Charles Hermite che – guarda un po’ – ha avuto lo stesso docente di Galois al liceo – Louis-Paul-Émile Richard – per primo giunge alla soluzione delle equazioni di quinto grado utilizzando le funzioni ellittiche.

Ancora oggi, il nome di Galois e le sue idee occupano un posto importante nelle ricerche matematiche. Galois stesso sarebbe sorpreso dalla quantità di risultati che si richiamano al suo nome e che riguardano settori completamente diversi da quello delle equazioni algebriche.