Archimede e la doppia riduzione all'assurdo
Dal dossier dedicato ad Archimede pubblicato sull'ultimo numero di Lettera matematica pristem (n. 86) presentiamo l'articolo dello storico della scienza giapponese Ken Saito in cui analizza e approfondisce il modello di argomentazione archimedea noto come "doppia riduzione all'assurdo".
I risultati più importanti di Archimede in Geometria sono le determinazioni delle grandezze (aree e volumi) delle figure piane e solide comprese dalle linee e superfici curve quali segmento di parabola, sfera, paraboloide ecc. Per ottenere questi risultati, Archimede fa ricorso a un particolare modo di argomentazione che va sotto il nome di metodo di esaustione. In effetti sia il concetto di "metodo", sia quello di "esaustione", risalgono a molti secoli dopo Archimede (essenzialmente, al XVII secolo): per questo preferisco indicare il modello di argomentazione archimedea come doppia riduzione all'assurdo.
Schematicamente, il modello si può descrivere nei termini seguenti. Sia P la figura di cui vogliamo determinare la grandezza (per esempio una sfera) e sia X una figura "più nota" (per esempio un cilindro) a cui P è uguale (in Archimede e nella Geometria greca sono assenti i concetti di area e di volume: la misura avviene sempre per confronto diretto fra due grandezze). Si costruiscano due serie di figure, I e C, inscritte e circoscritte a P che soddisfino le condizioni:
1. I < X < C;
2. La differenza C – I può essere resa piccola a piacere: data una grandezza E, si può prendere una figura inscritta I e una circoscritta C in modo che sia C – I < E.
È in questo caso facile dimostrare che P è uguale a X. Infatti, se P è minore di X, E = X − P; per la condizione 2, si possono prendere C e I in modo che sia C – I < E. Allora si avrebbe X – I < C – I < E = X − P , cioè P < I, il che è impossibile perché I è inscritto a P. Dalla supposizione P > X, un argomento simile conduce all'esistenza di una C che soddisfi P > C > X, che contraddice il fatto che C è circoscritto a P.
Ecco l'essenza dell'argomentazione per doppia riduzione all'assurdo, che spesso si pensa sia qualcosa di molto complicato. Dobbiamo però sottolineare fin da subito che quanto abbiamo descritto è una schema generale che può essere ricavato – non senza forzature – dalle varie dimostrazioni messe in atto da Archimede. Ne esamineremo vari esempi, cominciando da quello che più si avvicina al modello astratto.
