Dimostrata la Congettura di Poincaré? Un'appassionante storia matematica

Una delle storie matematiche più popolari del ‘900 riguarda una congettura enunciata dal grande fisico e matematico Jules-Henry Poincaré nel 1904. Una congettura è un'affermazione che si ritiene vera ma della quale non si ha una dimostrazione formale e rigorosa: solo indicazioni, esempi, un certo tipo di convinzione che, naturalmente, ai matematici non basta.

E la “sfida” che si lancia alla comunità scientifica è proprio quella di dimostrarla – oppure confutarla con un controesempio. La congettura di Poincaré ha resistito finora a numerosi attacchi, mantenendo il proprio segreto. Ma negli ultimi anni sembra che si sia trovata una strada per dimostrarla e, negli ultimi giorni, di fatto è stata annunciata e pubblicata una sua dimostrazione, in un articolo di oltre 300 pagine attualmente all'esame degli esperti. Gli autori sono due studiosi cinesi -Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu– e la rivista è lo Asian Journal of Mathematics , una “nuova rivista che vuole unificare e stimolare le ricerche matematiche della regione asiatica” come recita il suo statuto. Per la precisione, l'articolo in questione compare nel volume 10, numero 2 (giugno 2006) da pag. 165 a pag. 498 ed ha per titolo: “ A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci Flow ”.

Qualche parola sul problema e sul gruppo di studiosi indicato nel titolo, che possono apparire in tutto e per tutto come possibili co-autori della dimostrazione. Ancora una volta, un profondo risultato matematico è legato ad una “comunità”, seppure piccola, di studiosi: è da considerare un risultato collettivo, anche se raccolto individualmente. Ancora una volta, come accade nelle migliori storie scientifiche, accanto alla soluzione, il mistero enunciato da Poincaré apre nuove prospettive: si chiude un problema per aprirne altri più profondi.

Il problema è quella della comprensione dello spazio, o meglio degli spazi, dal punto di vista della loro struttura topologica, vale a dire per quanto riguarda le proprietà che sono stabili rispetto alle trasformazioni continue. Classificarli nelle varie dimensioni, individuarne le proprietà caratteristiche, studiare come queste proprietà li collegano agli spazi delle teorie fisiche.

Nella formulazione originariamente proposta da Poincaré, la congettura afferma che ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è (topologicamente) una 3-sfera. Qui, la 3-sfera è una generalizzazione della consueta sfera dello spazio tridimensionale (che è bidimensionale e pertanto è una 2-sfera). In un senso meno formale, la congettura afferma che, così come avviene per la 2-sfera, la 3-sfera è l'unico tipo possibile di varietà tridimensionale chiusa che sia “priva di buchi” (ecco l'ipotesi che sia “semplicemente connessa”).

La congettura è facile da generalizzare, da 2 e 3 a ogni dimensione n . E questo è ciò che è realmente avvenuto. Per n=1 si ha una situazione banale, il caso n=2 della sfera usuale è noto dalle origini della topologia algebrica, il caso n=3 è quello enunciato da Poincaré ed ha (forse) trovato solo oggi la propria conclusione, mentre nei successivi casi, paradossalmente, la congettura è stata dimostrata vera ancora in precedenza: per n=5 da Zeeman nel 1961, per n> 6 ancora nel 1961 (da Smale, vincitore della “medaglia Fields” del 1966), per n=6 da Stallings nel 1962 e infine per n=4 da Freedman nel 1982.

E proprio nel 1982 comincia una nuova storia matematica, con la cosiddetta “congettura di geometrizzazione” di Thurston (altro vincitore di “medaglia Fields”) che fornisce, se dimostrata, una più generale rappresentazione delle 3-varietà. Senza entrare nei dettagli, questa congettura afferma che ogni componente, opportunamente ottenuta, di una 3-varietà ammette una geometria di tipo particolare, scelta in un novero di otto geometrie possibili.

La congettura di Poincaré ne è una conseguenza immediata. Molti autori si sono dedicati a capire e classificare questi tipi di geometrie. Fra questi, Richard Hamilton ha introdotto un proprio metodo particolare, basato sul cosiddetto “flusso di Ricci”: un costrutto matematico che prende il nome dal tensore di Ricci e che controlla il raggio di curvatura nelle varietà lisce. Con la nuova tecnica, Hamilton è stato in grado di dimostrare la congettura di geometrizzazione di Thurston soltanto con qualche ipotesi supplementare, per sfortuna molto restrittiva.

Ma ecco che la storia si infittisce e si avvicina ai nostri giorni.

Nel 2003, in aprile, il matematico russo Grisha Perelman (del prestigioso Istituto Steklov di San Pietroburgo) con alcuni preprint e con pubbliche conferenze negli Stati Uniti, annuncia di essere in grado, basandosi sulle idee di Hamilton, di superare tutte le restrizioni e fornire una dimostrazione completa della congettura di Thurston.

Purtroppo ci sono pochi dettagli della dimostrazione, anche se la comunità matematica degli esperti è colpita dagli argomenti di Perelman. In ogni caso è chiaro che i suoi metodi portano a risultati profondi relativi alla congettura di Thurston e progressivamente si forma la convinzione che la dimostrazione sia effettivamente lì dove lui dice. Ma il personaggio è singolare: torna a San Pietroburgo, evita gli incontri con i colleghi e le interviste, sembra perfino disinteressato al premio di un milione di dollari che il Clay Mathematical Institute ha dedicato alla congettura di Poincaré (così come a sei altre cosiddette “congetture del nuovo millennio”). E qui si inserisce l'articolo di Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu che, almeno dal titolo, promette di aver colmato la lacuna lasciata aperta da Perelman, lungo le linee che egli stesso aveva indicato.

Ora ci si interroga su chi ha diritto al premio. Poco interessante dal punto di vista matematico. Più rilevante il commento a conclusione di articolo che un esperto come John Milnor (altra “medaglia Fields, nel 1962) ha dedicato alla vicenda della congettura di Poincaré fino a tutto il 2003 e che consigliamo di leggere per avere più dettagli ed entrare maggiormente negli aspetti tecnici di questa appassionante vicenda:

“Non mi proverò a commentare i dettagli degli argomenti di Perelman, che sono ingegnosi e molto tecnici. Tuttavia, è chiaro che egli ha introdotto nuovi metodi che sono allo stesso tempo potenti e belli e che contribuiscono in maniera sostanziale alla nostra conoscenza” (J. Milnor, Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-Manifolds , Notices of the AMS, volume 50, numero 10, novembre 2003, disponibile in rete http://www.ams.org/notices/200310/fea-milnor.pdf ).