Famiglie di curve e inviluppi
La definizione di una curva, intesa come luogo di punti che soddisfano una data proprietà, passa generalmente attraverso la costruzione geometrica di un suo punto con i classici strumenti della geometria euclidea, riga e compasso, oggi efficacemente sostituiti nella didattica dai corrispondenti strumenti informatici della geometria dinamica. L'introduzione di un opportuno sistema cartesiano permette poi di ottenere l'equazione rappresentativa del luogo che, per le coniche, si riduce ad una equazione implicita in due variabili di secondo grado.
In quanto segue intendiamo invece giungere all'equazione della curva o, in alternativa, alle sue equazioni parametriche, a partire dalla costruzione prima geometrica e poi algebrica, di una opportuna famiglia di curve sempre tangenti alla curva stessa. Nei casi più semplici questo potrà essere l’insieme delle sue rette tangenti ma non solo: intendiamo cioè ottenere la curva come l'inviluppo di tale famiglia.
Per fornire una giustificazione didattica alle condizioni che determinano la curva inviluppo, svilupperemo nei particolari la costruzione della parabola per poi generalizzarne i risultati. In questo percorso le nozioni più significative e necessarie per la comprensione dei risultati sono la conoscenza del calcolo dei limiti e della derivata di una funzione. Infine, per le deduzioni elementari di carattere algebrico faremo uso delle capacità di elaborazione simbolica di GeoGebra.
Sul sito web dell'autore potrete trovare il file contenente i materiali citati nell'articolo; questi sono costituiti dai file di GeoGebra relativi alle diverse costruzioni e quelli che presentano le soluzioni simboliche dei sistemi algebrici coinvolti.
