Il rapporto CREM

Intervento di Remy Langevin con nota introduttiva di Giorgio Bolondi

Materiale relativo all'intervento di Remi Langevin
di Giorgio BOLONDI

La Commissione di Riflessione sull'Insegnamento della Matematica (CREM).
Su richiesta di varie associazioni matematiche francesi (SMF-Società Matematica di Francia, SMAI-Società di Matematica Applicata e Industriale, APMEP-Associazione degli Insegnanti delle Scuole Pubbliche, UPS), il Ministero francese dell'Istruzione Pubblica ha istituito nel 1999 una Commissione di riflessione sull'insegnamento della Matematica, con l'obiettivo di ripensare in un'ottica globale e a lungo termine tutto l'insieme dei programmi, dalla scuola elementare all'università.
Questa Commissione, nota come Commissione Riflessione sull'Insegnamento della Matematica (CREM) o anche come "Commissione Kahane" dal nome del suo presidente, ha prodotto una serie di rapporti molto corposi e di notevolissimo interesse (anche per i non francesi) che sono reperibili in rete all'indirizzo http://smf.emath.fr/Enseignements/CommisionKahane.
I rapporti riguardano, in particolare, la Geometria, il Calcolo, l'Informatica e la Statistica; sono ricchi di approfondimenti teorici ed epistemologici e allo stesso tempo concreti e contenenti indicazioni pratiche. Abbracciano tutto l'insegnamento della disciplina, collegandolo anche agli sviluppi attuali della ricerca.

Il prof.Remi Langevin, dell'Università di Borgogna, ha partecipato ai lavori della CREM dal suo inizio e ha presentato alcuni passi delle raccomandazioni finali dei "Rapports" sulla Geometria e sul Calcolo.

I termini della discussione.
La matematica è la più antica delle scienze e quella i cui valori sono i più duraturi. Ciononostante, l'approccio e i mezzi per studiarla sono cambiati nel corso delle civiltà e delle epoche. La stampa, la navigazione, l'astronomia hanno contribuito a forgiare le funzioni usuali e il calcolo differenziale e integrale. Oggi, l'informatica crea nuovi mezzi e nuovi oggetti di studio, tutte le scienze progrediscono grazie a strumenti matematici e contribuiscono a forgiarne di nuovi, il legame con la fisica si rafforza e la ricerca matematica trae beneficio dall'intuizione dei fisici.
La visione della matematica si è notevolmente modificata negli ultimi cinquant'anni. La matematica sembrava aver ritrovata la propria unità sulla base di una solida costruzione dei fondamenti e delle strutture. Ma così facendo s'era impoverita. Poi le matematiche applicate hanno aperto una breccia. Attualmente, la dinamica della matematica fa apparire una moltitudine di fonti e di ricadute, e nello stesso tempo un grande lavoro all'interno della matematica già consolidata. La matematica si arricchisce di problemi, di metodi e di concetti che provengono da altre scienze e da altri settori, e d'altra parte crea nuovi concetti, nuove teorie e fornisce materia per applicazioni talvolta impreviste. I modelli matematici che permettono di simulare i fenomeni sono onnipresenti e la matematica si sviluppa attraverso l'interazione con le altre discipline così come attraverso interazioni al suo interno. Così, la matematica non è certo un affare solo per matematici. Nel processo di pompaggio, distillazione e irrigazione che la matematica realizza oggi dobbiamo tener presente l'attività matematica di meccanici, fisici, informatici, ingegneri, biologi, economisti, chimici, oltre a quella dei matematici in senso stretto. E' opportuno ragionare non solo in termini di “matematica”, “matematica pura e applicata”, ma di considerare l'insieme delle “scienze matematiche” nella sua varietà di attori e utenti. Questa è una tematica comune a tutti i rapporti della Commissione.
L'insegnamento della matematica, così come ogni insegnamento, pone una serie di domande.

• Chi insegna, e a chi?
• Che cosa?
• Come?
• Perché?
  

L'approccio della Commissione è stato di partire dall'ultima domanda: perché?
In certi periodi, sembra che la domanda non si ponga neppure. Nella nostra epoca non si può eludere la necessità di discutere sulla finalità dell'insegnamento. Perché bisogna insegnare matematica?
p0 Una risposta viene dalla pratica delle altre discipline: c'è bisogno di matematica in biologia, così come in fisica o in economia…Ma prima di tutto, c'è bisogno dell'alleanza tra immaginazione e ragionamento realizzata dal metodo della matematica, dall'elaborazione e la formazione degli enunciati fino alla dimostrazione delle loro conseguenze….
Nessuno studente, nessun individuo può imparare tutto. Ciononostante, bisogna lasciare le porte aperte a un'evoluzione dell'insegnamento che risponda ai bisogni del futuro a lungo termine come a quelli del presente o dell'avvenire prossimo, senza eliminare a priori nulla di ciò che potrebbe essere utile. L'importanza dell'insegnamento della matematica si deve misurare quindi non solo su quello che dà nell'immediato agli allievi, perché possano muoversi bene nell'insieme delle attività e delle conoscenze umane, ma anche- come ogni vero insegnamento- sugli atouts che fornisce ai bambini e ai ragazzi di oggi perché possano affrontare, nel corso della loro vita, i grandi problemi dell'umanità del futuro, di cui oggi possiamo soltanto intuire la difficoltà.
La riflessione sull'insegnamento della matematica è dunque per sua natura una riflessione a lungo termine. Si scontra quindi con la visione generale dei giovani, dei genitori e talvolta degli stessi insegnanti, che è a breve termine. Si appoggia su quello che sappiamo dell'evoluzione della scienza e su una visione implicita dell'avvenire a lungo termine: possibilità innumerevoli, pericoli già identificati, e una moltitudine di problemi ai quali l'umanità potrà far fronte soltanto mobilitando tutte le risorse di immaginazione, di curiosità, di creatività, di capacità di analisi critica e di ragionamento, e di conoscenze immagazzinate dalle generazioni precedenti. La riflessione deve tener conto dello sviluppo attuale della scienza così come della sua storia e di tutto quello che va rivisto nel suo passato. Deve essere ambiziosa, audace e allo stesso tempo tener conto delle difficoltà del terreno.

Dal: "Rapporto sulla Geometria e il suo insegnamento"

Introduzione.
L'obiettivo di questo testo è di tentare di rispondere alle seguenti domande:

•  
  • come si situa la geometria "elementare" come parte delle matematiche alla fine del XX secolo?
  • bisogna insegnare ancora oggi la geometria nelle scuole medie e nei licei
  • come analizzare l'evoluzione dell'insegnamento della geometria, nelle scuole medie e nei licei, negli ultimi decenni e quale è la situazione attuale
  • quali proposte si possono avanzare per quel che concerne l'insegnamento della geometria di domani?
    • Quest'ultima domanda si suddivide a sua volta:
      • che cosa insegnare in geometria?
      • come insegnare la geometria?
      • quali relazioni stabilire tra la geometria e le altri parti della matematica?
      • tra la geometria e le altre discipline?
      • quale formazioni degli insegnanti per insegnare la geometria?

La nostra risposta alla prima domanda è l'oggetto dell'allegato 1 (scaricabile dalla rete, n.d.T.). Si tratta, essenzialmente, di una risposta matematica…

La visione della geometria presentata nell'allegato è fondamentalmente quella del programma di Erlangen di Felix Klein (una geometria corrisponde essenzialmente all'azione di un gruppo di trasformazioni), ma con un accento particolare posto sulla teoria degli invarianti. Questo punto di vista, completato da quello dei matematici del XVIII e XIX secolo (Buffon, Crofton, Monge…) e quello di artisti e architetti è servito di base alla riflessione degli autori di questo rapporto.

Alla domanda: bisogna ancora insegnare geometria? la commissione ha risposto, senza esitazione, in maniera positiva. Gli argomenti in favore dell'insegnamento della geometria sono numerosi e possiamo ripartirli in due filoni. Il primo riguarda la formazione del cittadino. Si tratta, prima di tutto, dell'importanza della visione nello spazio.
Nella nostra società, tutta rivolta verso l'immagine, questo è un fatto evidente. Si tratta poi di apprendere le regole del ragionamento logico-deduttivo, possibile per mezzo della geometria prima e senza dubbio in modo migliore rispetto a qualunque altra disciplina. Si tratta infine dell'importanza della geometria nella vita quotidiana e della sua funzione culturale ed estetica. Il secondo filone concerne la formazione nell'ambito scientifico (tecnici, ingegneri, ricercatori, professori). Vogliamo far vedere come la geometria sia onnipresente nella scienza e nella tecnica e come il fatto di "pensare geometricamente" sia essenziale per tutte le persone che operano in ambito scientifico-tecnico …. Perché insegnare la geometria oggi. In questa parte tentiamo di analizzare le ragioni per continuare- o no- ad insegnare la geometria elementare nelle scuole medie e nel liceo. I primi paragrafi, che trattano della visione nello spazio e dell'apprendimento del ragionamento, riguardano tutti i cittadini. Guarderemo poi l'apporto della geometria nelle discipline scientifiche, per la formazione dei tecnici, degli ingegneri, dei ricercatori e dei professori.

a) La visione spaziale
Se si pone la domanda “perché insegnare la geometria” a chi non è un matematico, è spesso il punto che di comune accordo viene messo al primo posto: la geometria è il luogo in cui si impara a comprendere lo spazio. Di fatto, è la geometria nello spazio che viene citata più spesso. Gli argomenti variano secondo la professione: per un medico la visione geometrica si manifesta negli interventi via monitor in artroscopia o in microchirurgia, per un marinaio è il tracciato delle geodetiche, o il profilo della chiglia delle barche, per un ingegnere la percezione dei movimenti di un solido, etc. Ci sembra dunque che, tra le missioni sociali che spettano all'insegnamento della matematica, quella di dare a ogni cittadino il mezzo di avere una percezione efficace dello spazio che lo circonda sia sicuramente una priorità. …. Tra i temi che rientrano in questa conoscenza dello spazio e la cui importanza è innegabile possiamo citare i seguenti: come dirigersi, muoversi in una grande città sconosciuta, nella campagna, in un bosco o sul mare? Come utilizzare o costruire una mappa per determinare una posizione o prevedere una traiettoria? Come pre-vedere i propri spostamenti in un grande edificio sconosciuto? Come rappresentare i propri movimenti e spostamenti rispetto agli altri oggetti? Come rappresentare quel che vediamo intorno a noi? con uno schema, una mappa, una visione in prospettiva? Come descrivere i solidi elementari, i loro movimento, le direzioni dello spazio, le distanze tra gli oggetti? Come descrivere le figure piane? Ci sembra che questi temi possano costituire la trama di un insegnamento specifico dello spazio nella scuola elementare. Al di là di questa conoscenza famigliare si inscrive una pratica più propriamente geometrica che permette di perfezionare la conoscenza dello spazio. Questo apprendimento si fonda in particolare sullo studio dei solidi (poliedri, sfere, cilindri, ecc.), che l'utilizzo di strumenti matematici permette di comprendere meglio…. Ad ogni modo, il fatto di aver costruito, studiato, analizzato figure, piane o no, è senza dubbio essenziale per appropriarsi della visione e della rappresentazione dello spazio, che resta una delle missioni fondamentali dell'insegnamento della matematica.

b) Apprendere a ragionare.
Se il punto precedente riscuote facilmente consensi, non è altrettanto facile giustificare il fatto che una delle caratteristiche dell'insegnamento della geometria è la parte considerevole che in esso occupa l'apprendere a ragionare. Senza dubbio, siamo tutti d'accordo sul fatto che essere capaci di ragionare è una risorsa vincente cruciale per il cittadino, che gli permette di esercitare in maniera lucida le proprie responsabilità nella società e di prendere parte ai dibattiti politici, sociali ed economici che l'agitano. Ma, parlando di geometria, un dibattito filosofico ricorrente oppone spesso fautori ed avversari del metodo deduttivo con cui viene talvolta identificata. Da parte nostra pensiamo che questa identificazione sia molto riduttiva, che il ragionamento geometrico sia molto più ricco che la semplice deduzione formale e che la possibilità di apprendere questo tipo di ragionamento, condotto in modo conveniente, sia senza dubbio l'argomento più forte in favore della geometria. Beninteso, ci sono molti altri domini nei quali il ragionamento si esercita, in altre forme interessanti, a cominciare da altri settori della matematica e della scienza, e sarebbe disastroso cercare di mettere in riga tutti i modi di ragionamento seguendo i canoni della dimostrazione geometrica. …Il nostro scopo non è quindi quello di erigere la geometria come una sorta di modello ideale di ragionamento, confinando nelle tenebre dell'errore tutto ciò che non è ad esso riconducibile, ma piuttosto di insistere sulle specificità del ragionamento geometrico, che ci sembrano essere le seguenti: · xtb · si tratta di un dominio che può essere affrontato abbastanza presto (nella scuola media), in cui il ragionamento interviene fin dall'inizio e nel quale si vedono facilmente le articolazioni di una logica la cui portata è universale · xtb · si tratta di un dominio vario, ricco, con una faccia visuale ed estetica, quasi ludica · xtb · si tratta di un dominio i cui oggetti sono significativi e utili (cosa che non era il caso del latino, altra disciplina spesso presentata come scuola di ragionamento). Ci sono delle condizioni indispensabili perché tale apprendimento del ragionamento avvenga in modo efficace. E' essenziale non sottostimare due difficoltà: · xtb · l'apprendimento della matematica in generale, e della geometria in particolare, è difficile · xtb · il ragionamento geometrico non deve essere ridotto all'apprendimento formale della dimostrazione.

c) Gli aspetti estetici e culturali della geometria.
Non si può negare che la geometria, che affonda le radici nell'antichità, è parte integrante della cultura dell'umanità. … La geometria ha un ruolo da giocare nell'educazione estetica dei bambini, grazie ai legami profondi che ha con le arti visive. Si può trovare in Kandinski (Punto e linea nel piano ) una discussione approfondita su tali rapporti nel caso della pittura, ma sono numerosi anche con la scultura (per esempio, l'osservazione del drappeggio delle statue è una buona introduzione alla nozione geometrica di contorno apparente). La geometria è il mezzo per scoprire degli invarianti nell'infinità di forme che ci circondano …

d) La geometria nella vita quotidiana
La geometria, più che altre parti della matematica e della scienza, conserva un carattere concreto, legato al suo aspetto visivo, che fa sì che possa essere utile a tutti, nella professione come nella vita di tutti i giorni…. Le nuove tecnologie fanno continuo ricorso alla visione geometrica, in particolare nei mestieri in cui si utilizzano software per il disegno. Ma, al di là di queste utilizzazioni professionali, il cittadino comune ha occasione di utilizzare le proprie conoscenze geometriche nelle più svariate circostanze della vita: - per leggere delle carte e delle mappe… - per capire i piani di montaggio degli oggetti in kit… - per spostare degli oggetti…. - per interpretare correttamente le molteplici rappresentazioni geometriche dei dati statistici (istogrammi, diagrammi a torta)…. …

e) La formazione dei tecnici e degli ingegneri
La geometria gioca un ruolo cruciale nella formazione scientifica e tecnica degli ingegneri….Tra le utilizzazioni della geometria nei settori più avanzati si può citare l'importanza cruciale assunta da tutto quello che riguarda la visione assistita dal calcolatore, con tutti i problemi di ricostruzione di immagini, in modo particolare nell'area medica, e lo sviluppo dei software di visione tridimensionale. Si possono anche ricordare i recenti progressi della robotica che devono moltissimo allo sviluppo della geometria algebrica reale e della geometria algoritmica…E si può infine richiamare l'uso delle curve dell'industria automobilistica e aerospaziale, e di curve e superfici nel design. Tutto questo contribuisce a fare della geometria un punto essenziale nella formazione dei tecnici e degli ingegneri.

f) la geometria nelle altre scienze
E' un dato di fatto evidente che la matematica, ed in particolare la geometria, hanno applicazioni a molte altre scienze e soprattutto alla fisica. Non rientra tra le nostre intenzioni stendere un catalogo esaustivo di queste applicazioni, ma di dare solo qualche esempio significativo del ruolo della geometria elementare nella fisica, anche se questo ci costringe a lasciare nell'ombra degli interi filoni dell'utilizzo della geometria. Così, tra le nozioni elementari, ben sappiamo che i vettori modellizzano velocità e forze, che il prodotto vettoriale gioca un ruolo cruciale in elettricità o che le trasformazioni del piano permettono di modellizzare i movimenti. Non ci fermeremo su questo. A un livello più alto si incontra l' importanza dei campi di vettori, gradienti eccetera in elettromagnetismo, delle forme quadratiche nella relatività e degli spazi di dimensione maggiore di tre come spazi di configurazioni in meccanica. Seguendo la teoria matematica degli invarianti di cui parliamo nell'allegato 1, possiamo citare anche che il solo fatto di sapere che le teorie fisiche debbono essere invarianti rispetto a certe trasformazioni permette di determinarne la forma (è questo il caso delle leggi di conservazione o della teoria dell'elasticità lineare). Gli esempi potrebbero essere moltiplicati. In verità, è affascinante costatare che la maggior parte delle nozioni geometriche che la storia ci ha tramandato giocano anche un ruolo specifico in fisica. D'altro canto, l' intuizione fornita dal mondo fisico è una guida essenziale per la comprensione delle nozioni matematiche e la fisica resta, per i matematici, una fonte di problemi in continuo rinnovamento (e spesso anche una fonte di soluzioni!). Il più bel esempio di questa relazione, esigente ma molto fruttuosa, tra la fisica e la geometria è senza dubbio quello della meccanica celeste. Questo esempio è d'altra parte ancora più interessante giacché le coniche sono state studiate dai matematici dell'antichità indipendentemente dal loro ruolo nel movimento dei pianeti, che è stato identificato solo da Keplero all'inizio del diciassettesimo secolo. Qui si vede bene che la dicotomia matematica pura/matematica applicata non è sempre pertinente. Notiamo anche che le coniche non sono quasi più insegnate nei licei francesi (in particolare, non si insegna più la loro definizione a partire dai fuochi, fondamentale in meccanica). Un altro campo di applicazione essenziale della geometria alla fisica è la meccanica dei solidi, dove i movimenti rigidi nello spazio (rotazione attorno a un asse, eccetera) giocano un ruolo essenziale. Anche queste nozioni sono scomparse recentemente dai programmi dei licei francesi. Un terzo esempio è l'ottica geometrica, che utilizza non solo la geometria euclidea ma anche quella proiettiva (omografie della retta…) e la geometria differenziale (caustiche, superfici d' onda). Un altro tipo di applicazioni si trova in fisica-chimica dei solidi, con la comprensione della struttura dei materiali e le loro proprietà di regolarità e simmetria. Si conoscono da tempo i cristalli e i gruppi cristallografici, ma lavori recenti aprono nuovi orizzonti. Si può citare la scoperta di una molecola di carbonio che ha la simmetria di un poliedro di 60 vertici. Più notevole ancora è la scoperta dei quasi cristalli (tipi particolari di vetro o particolari leghe) che presentano sia una simmetria icosaedrica locale sia una quasi-periodicità (come le tassellazioni di Penrose). D'altra parte è notevole che questi fenomeni si comprendono bene solo attraverso la considerazione dei politopi in dimensione 4. Ci sono molti altri esempi di intervento della geometria nelle scienze (la descrizione geometrica delle fogliazioni e delle infiorescenze in botanica, la codifica delle proteine in biologia). Da un punto di vista più generale, il modo di pensare geometrico è spesso di grande utilità nelle scienze. Un bel esempio in questa direzione è quello dei diagrammi di Feynmann (in fisica delle particelle) in cui le proprietà geometriche dei diagrammi permettono di prevedere comportamenti che vengono poi verificati dal calcolo. In breve, la geometria ( e più in generale la matematica) è ovunque, nelle scienze come nella vita. E' un fatto evidente ma essenziale, che dovrebbe incitare i matematici e gli insegnanti di matematica ad una maggiore apertura verso le altre discipline. ….

h) Conclusione
Pensiamo di aver fatto capire che, per la nostra commissione, conservare l'insegnamento della geometria nella scuola media e nel liceo è un imperativo assoluto. Il problema che si pone adesso è di adattare questo insegnamento alle nuove condizioni in cui l' insegnamento stesso si svolge, ma, prima di questo, è importante fare un bilancio dello stato attuale dell'insegnamento della geometria.

Dal: "Rapporto sul Calcolo"

Introduzione.

Perché un rapporto sul calcolo?

La commissione ha deciso di fare del calcolo uno dei suoi temi di riflessione. Ci sono molte ragioni, tra cui almeno le seguenti tre. La prima è che il calcolo è onnipresente nella pratica matematica, che ne è una componente essenziale a tutti i livelli, inseparabile dai ragionamenti che la guidano o che utilizza; ma a fronte di questo l'immagine del calcolo veicolata dalla cultura e dall'insegnamento è profondamente inadeguata, e ha degli effetti negativi sull' immagine di tutta la matematica. La seconda è che, negli ultimi tempi, lo sviluppo delle tecnologie informatiche ha modificato in profondità le pratiche associate al calcolo, sia le pratiche quotidiane e sociali che le pratiche scientifiche. La maggior parte degli algoritmi di calcolo, il cui apprendimento un tempo occupava la maggior parte del tempo scolastico, si trovano oggi già installati nelle calcolatrici più semplici. Ma d' altra parte, il calcolo pone dei nuovi problemi legati alla rappresentazione informatica degli oggetti matematici su cui lavora (per esempio la rappresentazione informatica dei numeri), alle performance degli algoritmi utilizzati al di la' della loro efficacia…., questioni che non rientravano tra i problemi dell'insegnamento fino ad oggi. La potenza di calcolo dei nuovi strumenti modifica in profondità l'economia del calcolo e pone, in termini rinnovati, il problema della gestione dei rapporti tra calcolo e ragionamento, favorendo esplorazioni, simulazioni, sperimentazioni. La terza è che la stessa evoluzione della matematica sposta gli equilibri tradizionali in materia di calcolo. Basti pensare all' importanza crescente delle modellizzazioni probabilistiche, e quindi delle forme di calcolo ad esse associate, influenza che si estende da settori dalla lunga storia come quello delle equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni alle derivate parziali fino a settori che sono stati coinvolti dalla matematizzazione in tempi più recenti, come l'economia, la finanza, fino ad arrivare alla modellizzazione del pensiero umano, come sottolineato recentemente da David Mumford. Questa evoluzione obbliga l' insegnamento della matematica a porsi delle domande sui suoi equilibri tradizionali. L'insegnamento della matematica si trova quindi, in rapporto al calcolo, in una fase di destabilizzazione. Non si può far a meno di interrogarsi su quello che può essere, su quello che deve essere l' insegnamento del calcolo oggi, sia nei suoi contenuti che nelle sue forme, tenendo conto dei bisogni culturali, scientifici e sociali ai quali deve rispondere. E' alla riflessione su queste domande che la commissione vuole dare un contributo. La struttura del rapporto. Questo rapporto si articola in questo modo: - una riflessione di natura epistemologica sul calcolo e la sua evoluzione, che sarà confrontata con l' immagine tradizionale del calcolo nella cultura e nell' insegnamento, - appoggiandosi su quest'ultima, una riflessione di natura didattica sui bisogni dell'insegnamento del calcolo al giorno d'oggi e sui mezzi da mettere in campo per soddisfarli, - mettendo l'accento su continuità che, a lungo termine, caratterizzano questo insegnamento; queste continuità sono essenziali per pensare in modo coerente l'insegnamento sul lungo termine, - mettendo anche l'accento, in senso inverso, sull'evoluzione degli oggetti, delle pratiche, delle procedure di pensiero del calcolo lungo tutta l'educazione scolastica e sulle ricostruzione che sono necessarie, per gli studenti, per seguire questa evoluzione; l'insegnamento è, in generale, troppo poco sensibile a questi aspetti, - analizzando le difficoltà che l'istituzione scolastica incontra nel realizzare un rapporto soddisfacente verso il calcolo degli allievi e degli insegnanti…. La nostra ambizione non è quella di tracciare una via regale per l'insegnamento del calcolo, dalla scuola dell'infanzia fino all'università: il calcolo è multiforme, sono possibili diversi approcci e un sistema scolastico deve necessariamente effettuare delle scelte. Ma quello che importa è che queste scelte siano coerenti e ben pensate su tutto il percorso, che non entrino in collisione con i limiti che le condizioni reali dell' insegnamento incontra, senza peraltro lasciarsi dominare da tali limiti e senza rinunciare troppo facilmente alle ambizioni che l' insegnamento della matematica deve legittimamente avere. …… Sintesi e raccomandazioni. (n.d.T.: ognuno di questi punti è ampiamente sviluppato ed esemplificato nel rapporto) - rinforzare lungo tutta la scolarizzazione i rapporti tra ragionamento e calcolo, - avere come obiettivo lo sviluppo di un calcolo che utilizzi gli strumenti in modo intelligente e controllato, - mantenere un giusto equilibrio tra calcolo esatto e calcolo approssimato, - diversificare il rapporto con il calcolo secondo gli indirizzi scolastici - arricchire i contesti matematici del calcolo e rafforzare i rapporti con le altre discipline - prevedere gli strumenti necessari, - adattare la formazione degli insegnanti dal: Rapporto sull' informatica e l'insegnamento della matematica. (riproduciamo qui lo schema del rapporto, rimandando le persone interessate alla versione originale integrale che si può trovare in rete all'indirizzo http://smf.emath.fr/Enseignements/CommissionKahane/RapportInfomath.html.

Perché introdurre una parte di informatica nell' insegnamento della matematica e nella formazione degli insegnanti?

Quali cambiamenti nella matematica?

Come fare evolvere i programmi?

Quali contenuti?

Quali professori?

Alcune proposte.

• - Integrare una parte dell' informatica nell'insegnamento della matematica nei licei
• - Formazione degli insegnanti
• - I luoghi dell'insegnamento.