Il teorema dell'utilità massima
IL TEOREMA DELL’UTILITÀ MASSIMA
Supponiamo per semplicità che esistano soltanto due beni. Supponiamo altresì che le preferenze di chi scambia sul mercato siano rappresentabili da una funzione di utilità in cui l'utilità totale U(x, y) dipende
dalle quantità dei due beni, x e y:
U(x, y)=u(x) + v(y).
(Si noti la peculiarità formale di questa funzione di utilità: è additiva e separabile, vale a dire l’utilità di un bene non dipende da quella dell’altro. Torneremo tra poco su questo punto.)
Le risorse di chi scambia consistono in una certa quantità del bene y, che indicheremo con y1, dove il pedice ci ricorda che questa quantità è data. La quantità in possesso di chi scambia può essere ceduta per acquistare il bene x ad un prezzo unitario p. Questo è il prezzo relativo di x in termini y: rappresenta quante unità di y occorre cedere per acquistare una unità di x. Supponiamo che la dimensione degli scambi effettuati dal soggetto in questione sia tale da non poter modificare questo prezzo, supponiamo cioè che il mercato sia retto da un regime di concorrenza perfetta. L’altra equazione del problema è costituita dal vincolo di bilancio, il quale afferma che il valore di ciò che si acquista (px) deve uguagliare il valore di quanto si vende (y1 –y):
y1–y = px.
Ricavando y e sostituendo nella funzione di utilità, otteniamo:
u(x) + v(y1 – px)
dove ciò che rimane da determinare è la quantità da acquistare di x. L’ipotesi che ci consente di determinare la quantità domandata di x è che il soggetto intende massimizzare l’utilità totale U.
Nella nota Piccard impiega due grafici per mostrare che la massimizzazione
dell’utilità comporta che:
u’(x) = pv’(y1– px).
Le derivate rappresentano l’utilità marginale dei due beni, ovvero le rareté nella terminologia di Walras. Quindi, la condizione necessaria per avere un massimo è che il rapporto tra le utilità marginali dopo lo scambio sia uguale al prezzo relativo.
Qui si conclude la nota di Piccard. Alla condizione necessaria, Walras aggiunse negli Elementi quella sufficiente, in base alla quale la derivata seconda della funzione di utilità rispetto ad x deve
essere negativa:
u’’(x) + p2v’’(y1 – px)< 0.
Walras suppone che questa condizione sia soddisfatta in base all’assunto che l’utilità marginale sia decrescente ovvero che u’’(·) e v’’(·) siano entrambe negative.
