L'infinito attraverso Escher
La chiarificazione definitiva della natura dell'infinito non riguarda esclusivamente l'ambito degli interessi scientifici specializzati, ma è diventata necessaria per l'onore stesso dell'intelletto umano .
D. Hilbert, Sull'Infinito.
Premessa
Nel presente articolo, viene illustrata un'attività svolta in una classe quinta del Liceo delle Scienze sociali, consistente nell'analisi di un'opera del pittore olandese Maurits Cornelis Escher: “Limite circolare IV”. Ci si sofferma sulla parte conclusiva: un dibattito nel quale gli studenti hanno ricercato i punti di vista comuni in merito all'idea di infinito suggerita dall'opera. È emerso un fatto saliente: gli studenti non hanno indicato che l'idea di infinito attuale appartenga alla matematica bensì che riguardi aspetti “irrazionali” pertinenti all'arte.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), pittore olandese, risiedette per anni in Italia. Fondamentale per la sua opera fu il viaggio in Spagna dove visitò l'Alhambra e i mosaici arabi. Come egli stesso ricordava, non affrontò studi superiori nelle «scienze esatte». Fu il suo incontro con i matematici durante un Congresso internazionale di Amsterdam a determinare una svolta per la sua carriera di artista. Da allora condivise con i matematici una visione della realtà che non ritrovava negli altri artisti.
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Introduzione - Un quadro teorico
Usare il singolare e parlare di concetto di infinito è improprio. Come ricordato in (Arzarello, Bartolini Bussi e Robutti, 2004) in realtà esistono più concetti di infinito legati al contesto, all'ambiente e agli artefatti con i quali lo studente è in contatto. Si parla di limite infinito di una funzione reale, di punti all'infinito in geometria proiettiva ecc. La distinzione che solitamente viene fatta (mutuandola da Aristotele) riguarda infinito potenziale e infinito attuale: il primo va inteso come un processo non terminato mentre il secondo rinvia ad oggetti determinati. Il matematico al quale viene riconosciuto il merito di aver condotto l'infinito attuale a pieno diritto nel novero della matematica è Cantor con la sua teoria dei numeri transfiniti. “Volendo caratterizzare in breve la nuova concezione dell'infinito aperta da Cantor, si potrebbe dire: nell'analisi ci occupiamo dell'infinitamente grande e dell'infinitamente piccolo solo in quanto concetti-limite, come qualcosa che diviene, che nasce, che viene prodotto, cioè (come si dice) come infinito potenziale . Ma non è questo l'infinito vero e proprio. Lo abbiamo invece, per esempio, quando consideriamo la stessa totalità dei numeri 1, 2, 3, 4,… come una unità conchiusa, o quando riguardiamo i punti di un intervallo come una totalità di oggetti che ci è data in modo completo. Questo tipo di infinito è chiamato infinito attuale.» (Hilbert, 1985, p. 239).”).
Lakoff e Núñez (2005, p. 203) sostengono che “l'idea di infinito attuale in matematica sia metaforica e che i vari esempi di infinito attuale facciano uso del risultato metaforico ultimo di un processo senza fine. Letteralmente, il risultato di un processo senza fine non esiste: se un processo non ha fine, non ci può essere alcun «risultato ultimo». Tuttavia, il meccanismo della metafora ci permette di concettualizzare il «risultato» di un processo infinito, nell'unico modo in cui possiamo concettualizzare il risultato di un processo, ossia nei termini di un processo che in effetti ha una fine”.
L'esperienza - Descrizione
Gli studenti ai quali è stata proposta l'attività avevano già affrontato un percorso di introduzione al calcolo infinitesimale, centrato sullo studio dei limiti di funzioni reali e sul concetto di derivata. In filosofia avevano discusso dei paradossi di Zenone. L'insegnante di Matematica aveva ritenuto opportuno offrire loro un'occasione per ripensare ed arricchire il proprio concetto di infinito utilizzando uno strumento comunicativo accattivante, senza produrre una trattazione formale che nella specifica situazione della classe appariva fuori luogo.
Nella prima fase del lavoro, agli studenti era stato chiesto di esaminare l'opera di Escher Limite circolare IV, fornita in fotocopia, e di rispondere ad alcune consegne:
1. Descrivi l'opera e gli aspetti che ti sembrano maggiormente suggestivi.
2. L'opera è Limite circolare di Escher. Ricerca dei collegamenti tra ciò che ti suggerisce l'opera e i temi affrontati nel corso dei tuoi studi.
3. Commenta le due affermazioni seguenti con riferimento a Limite circolare. Una studentessa, alla quale era stata sottoposta l'immagine, ha scritto: «[secondo l'autore] esiste un limite anche nei numeri, [secondo me] i numeri sono infiniti». Un'altra studentessa: «I numeri sono infiniti, vanno dai più grandi a numeri piccolissimi».
4. Cerca altri collegamenti fra Limite circolare e quanto svolto precedentemente in classe.
5. Cerca altre considerazioni sulla affermazione delle due studentesse.
6. Se tracci un raggio nel cerchio quanti diavoli incontri? perché?
Le consegne non sono state fornite agli studenti tutte contemporaneamente, essenzialmente per due motivi:
• affinché la singola risposta non venisse influenzata dalla conoscenza del testo della successiva richiesta (è il caso della 1. rispetto alla 2.),
• per l'esigenza di approfondire qualche risposta (la 4. e la 5. rispetto alla 2. e alla 3.).
In (Demattè, 2005) sono presentate le fasi iniziali dell'esperienza, soffermandosi in particolare sulle risposte di Gaia apparse paradigmatiche rispetto all'orientamento della maggioranza degli studenti e particolarmente ricche di osservazioni e di spunti utili agli sviluppi successivi dell'iniziativa.
Nel suo elaborato, appaiono termini propri del linguaggio matematico ma la cui semantica, nello specifico, risulta falsata rispetto al significato originario. L'uso delle espressioni “inversamente proporzionali” e “in modo esponenziale”, riferiti alla stessa situazione, dal punto di vista matematico determina un'incongruenza. Il modo in cui le usa Gaia appare mutuato più dal senso comune che non dalla matematica. Lo mostra la spiegazione: “Le figure e lo spazio sono inversamente proporzionali, cioè all'aumentare dello spazio diminuisce la grandezza delle figure”. Nell'accezione in cui lo usa Gaia, il termine “esponenziale” vuole enfatizzare la rapidità con cui cresce il numero dei diavoli procedendo verso la circonferenza.
Per quanto riguarda la sesta domanda (che chiedeva di immaginare di tracciare un raggio del cerchio e di dire quanti angeli si incontrano), l'interpretazione degli elaborati prodotti dai diversi studenti ha, in prima istanza, fornito l'impressione che vi fossero nella classe due orientamenti divergenti: uno che riteneva fosse “finito” il numero dei diavoli incontrati tracciando un raggio, uno che riteneva si incontrassero infiniti diavoli. Sulla base delle risposte sono stati individuati due gruppi di tre studenti con orientamenti opposti: sono stati scelti quelli che sembrava esprimessero in maniera più marcata questo contrasto. Di fronte alla classe, si è organizzato un dibattito con la richiesta esplicita di trovare un orientamento comune, dopo aver messo a confronto le rispettive opinioni. Lo trascriviamo integralmente:
Il dibattito tra gli studenti
Gli studenti che assistevano al dibattito sono stati incaricati: a. di riportare per iscritto le considerazioni che di volta in volta sarebbero emerse, b. di scrivere le proprie idee su quanto si stava discutendo e c. di dar conto se e come il proprio punto di vista cambiava; avrebbero potuto anche intervenire, ma in via eccezionale. Questa fase ha costituito la conclusione dell'attività con Limite circolare e si è svolta a distanza di circa un mese dall'inizio del lavoro.
Il dibattito, inizialmente programmato fra sei studenti, si è in realtà svolto fra quattro di essi in quanto due (che rispetto alla domanda 6. avevano espresso orientamenti opposti) sono risultati assenti nel giorno fissato. Motivi legati all'organizzazione scolastica hanno suggerito di non procrastinare. L'insegnante di classe fungeva da moderatore. Egli si era prefissato di stimolare gli studenti a ricercare la possibilità di un orientamento comune in merito al quesito posto nella consegna 6. Si è proceduto alla registrazione audio.
Trascrizione della registrazione
L'insegnante chiede anzitutto a ciascuno dei quattro studenti di esporre il proprio orientamento, leggendo le risposte personali alla domanda 6., e poi di avviare il confronto. Negli scritti preliminari al dibattito, Daniele e Carla avevano mostrato di ritenere che fosse finito il numero dei diavoli incontrati tracciando un raggio, Vincenza e Federica che se ne incontrasse un numero infinito.
1. DANIELE : Se traccio un raggio incontro tre diavoli. Il 3 è simbolo della Trinità, perfezione.
2. CARLA : Incontro 4 diavoli, ma se cambiassi la direzione del raggio varierebbe anche il numero dei diavoli incontrati perché pur essendo un cerchio le immagini al suo interno sono disposte asimmetricamente.
3. VINCENZA : I diavoli che si possono incontrare sono finiti e diversi (in base a dove un raggio viene tracciato) se ci limitiamo ad osservare l'opera; infiniti e uguali se andiamo oltre e consideriamo il senso di infinità che l'autore ci trasmette.
4. FEDERICA : Il raggio può essere concepito in due modi completamente diversi se noi attuiamo la nostra consapevolezza di finito sulla figura. In base al modo in cui tracciamo l'asse, possiamo notare negli angeli e nei diavoli un senso di finito e di diversità. Nel caso in cui analizziamo non razionalmente la figura e ci lasciamo trasportare dal messaggio dell'autore, allora percepiamo la figura con un senso d'infinità.
5. INSEGNANTE : Dovete tradurre e specificare la risposta che avete dato. Cosa intendi…?
6. D : Ho tracciato il raggio e ho guardato quanti diavoli tagliava a metà esattamente, si vede che sono 1, 2, 3,... [indica la figura] perché gli altri non si vede niente quindi ho messo 3 per quello.
7. I : Puoi tracciare il raggio sulla figura ?
8. V : Sono finiti e infiniti allo stesso tempo perché se ti limiti all'opera comunque non riesci a contarli perché se tracci il raggio in un modo ne conti un certo numero in un altro modo un altro numero. Aumenta o diminuisce in base a dove vengono tagliati i diavoli. Però restano sempre infiniti perché il senso di infinità ce lo dà perché si rimpiccioliscono sempre di più. Nell'opera li riesci a contare e definire ma se vai oltre hai il senso di infinito.
9. F : Se ci mettiamo, possiamo contarli però se andiamo oltre la razionalità, quello che voleva trasmetterci l'autore, si rimpiccioliscono sempre di più e danno un senso di infinito.
10. I : Perché “oltre la razionalità”?
11. F : Possiamo contarli, però se andiamo nell'astratto dà un senso di infinito perché da grandi dopo vanno sempre più piccoli.
12. I : L'irrazionalità è …?
13. F : L'infinito!
14. C : Avevo solo guardato la parte concreta, razionale; non ero stata lì a fare le considerazioni che se ci limitiamo a guardare il disegno riusciamo ad arrivare al finito mentre può anche dare l'idea di infinito. Avevo guardato solo la parte concreta, però la penso come Vincenza.
15. I : Carla è stata convinta dalle altre. Voi siete stati convinti dalla parte “avversa”?
16. C : E' abbastanza logico che guardando questo è finito perché finisce qui e non è che va avanti, però se si usa l'irrazionalità (l'astratto) si può ragionare che questi punti vadano all'infinito. Ovvio che un quadro è finito, però può dare l'idea di infinito che è quello che fa questo disegno.
17. I : Daniele?
18. D : Non avevo neanche pensato al fatto dell'infinito dei diavoli e degli angeli, mi sono limitato all'opera e basta.
19. I : Cosa pensi a questo punto rispetto a quello che hanno detto Federica e Vincenza? Sei d'accordo, non sei d'accordo?
20. D : Sono d'accordo che andando a guardare fuori dall'opera sono infiniti (dà un senso di infinito).
21. RAMONA : Se definiamo un limite come ad esempio questa circonferenza, io credo che non si può definire infinito il numero di diavoli e angeli perché c'è un limite e l'infinito non si può limitare all'interno di un limite.
22. I : Ribadisci.
23. R : Che il limite è rappresentato dalla circonferenza che limita il numero di diavoli e angeli all'interno.
24. C : E' quello che dicevamo prima: la parte concreta; un quadro è finito e quindi contiene un certo numero di cose, se invece lo si guarda come l'idea che vuole trasmettere, può essere …sta dicendo la stessa cosa della mia idea iniziale quindi guardare il quadro come una cosa finita quindi che ha un numero determinato di diavoli e angeli.
25. I : E la tua contrarietà allora Ramona? Carla dice: “È la stessa cosa quello che dico io e quello che dice Ramona”. Però tu invece…?
26. C : Lei lo guarda razionalmente.
27. R : Si …
28. C : Quindi come una cosa finita. Loro vedendo l'infinito guardano l'idea che trasmette, non quello che è in sé.
29. I : Sei d'accordo con quello che dicevano i tuoi amici? Proviamo a chiarire questa idea di irrazionale.
30. C : Allora il concreto è la cosa in sé, quindi il quadro è finito quindi ha un tot numero di angeli e diavoli. La parte irrazionale è la parte del messaggio, non di quello che è.
31. I : Il messaggio che vuole trasmettere… Ramona sei d'accordo su questa interpretazione del termine irrazionale?
32. R : No, perché quando ho guardato per la prima volta il disegno mi è tornata alla mente la mia prima lezione di geometria sulle circonferenze in cui la prof., la maestra, stava tentando di spiegarmi che la circonferenza è composta da infiniti punti e ho detto no, non è possibile e allora mi diceva perché il punto non è definito come qualcosa, insomma di misurabile è un punto senza dimensioni specifiche e allora le ho detto ma sì, però, insomma, è un po' difficile immaginarsi che un qualcosa di visibile non sia misurabile né tangibile allora… guardando il disegno mi è tornato in mente questo e ho detto “potrebbe darsi che i pipistrellini diventando dei punti dopo, geometricamente non sono più tangibili… diciamo… diventano… come dire… impalpabili e passano dal punto di vista appunto geometrico e diventano infiniti.
33. [Brusio.]
34. MICHELA : Io ho scritto che essendo un tassellamento sul piano comunque i tasselli possono avere la stessa forma o possono essere di diverse forme, ogni tassellamento rispetta particolari proprietà di simmetria come appunto diceva la Ramona e questo può essere invariante per traslazione o per rotazione rispetto ad un determinato angolo o per riflessione rispetto ad un asse. Quindi secondo me angeli e diavoli sono infiniti perché dipendono uno dall'altro quindi la creazione di un angelo dipende dalla creazione di un diavolo.
35. [Brusio, commenti non distinguibili.]
36. I : Si chiedevano dei termini tecnici…
37. M : Le ho cercate sul vocabolario.
38. I : Questi concetti di tassellazione del piano: dove è che li hai presi, li hai recuperati recentemente oppure facevano parte di…
39. M : No, no, fanno parte del… siccome conoscevo questo artista… è molto bravo, fa delle bellissime opere, avevo un libro su di lui e ho guardato la sua tecnica e allora… ho trasmesso delle informazioni…
40. I : Quindi è una cosa che hai approfondito dopo aver ricevuto quella consegna sugli angeli e diavoli o una cosa che avevi visto anche in precedenza?
41. M : L'avevo visto anche in precedenza.
42. I : In quale ambito l'avevi visto?
43. M : In arte.
44. I : Al liceo artistico?
45. M : Sì, però non alle superiori, alle medie.
46. I : Ah! Addirittura alle medie.
47. M : Medie d'arte, quindi ci occupavamo di queste cose.
48. I : Sentivo che… un'altra cosa che volevo chiedervi… sentivo che si parlava prima, mi pare da parte di Ramona di reale e non reale, ho capito bene?
49. R : No, più che altro di tangibile e non tangibile.
50. I : Ah, tangibile e…
51. R : Sì perché… appunto… Il mio arrovellarmi è tutto intorno alla concezione di punto
52. I : Sì?…
53. R : Punto inteso come qualcosa di reale per cui un punto su un foglio può essere misurato e quindi ha un limite oppure punto nel senso più ampio insomma in geometria che non può essere misurabile e quindi in una circonferenza i punti sono infiniti.
54. I : Carla, intervieni pure ufficialmente, poi chiederò di fare un intervento anche agli altri tre membri del gruppo di discussione, quello di partenza. Avete qualcosa da aggiungere? Cosa vi sembra? Siamo arrivati a una conclusione comune? Questo dovreste cercare di dire… da parte vostra, siete voi quattro il gruppo di discussione, loro sono intervenuti giustamente, hanno dato delle idee, così…
55. D : Mettendo insieme i punti di vista che ci sono…
56. I : Sì…
57. D : Io non guardavo in senso ampio quello che vuole esprimere l'autore, io guardavo il quadro e basta perché ci diceva di osservare il quadro, il quadro mi dice che ci sono un tot di angeli e di diavoli e che non sono infiniti.
58. I : Ok, Vai Federica…
59. F : Sì, sono finiti se guardi l'opera sono finiti…
60. I : Finiti se guardi l'opera?
61. F : Sì, sono finiti…
62. I : Però se vai oltre cosa dicevi…?
63. ANTONIO : Però se vai oltre…
64. I : Se vai oltre? Cosa vuol dire andare oltre?
65. A : Andare oltre? Immaginare una continuità a una circonferenza…
66. I : Ma che continui, che quindi sia un opera più grande, più estesa… in questo senso?
67. A : No! L'opera è così, però, cioè… il senso secondo me… cioè dà un senso di infinità anche se è limitato o comunque contato… Però è il senso che dà, cioè, nel quadro non sono infiniti, però è il senso che dà…
68. R : Secondo me alla domanda cosa vedi bisogna rispondere finito in uno spazio limitato, limitato, quindi un limitato numero di angeli e di diavoli che oltre non può andare, a una domanda cosa vuole trasmettere si può dire l'idea di infinito, di continuità, però alla domanda cosa si vede si risponde finito.
69. I : Certo, sì, sì, questo è ovvio, mi pare che sia chiaro questo punto… a questo punto allora ve la sentireste di dire: abbiamo raggiunto una conclusione comune?
70. VARIE VOCI : Sì, abbiamo raggiunto una conclusione comune.
71. I : Proviamo adesso a fare una seconda parte del lavoro, che è questa… Completando quindi il lavoro sul foglio…
Come si diceva nella parte iniziale dell'articolo, il concetto di infinito è multiforme e aspetti diversi possono essere richiamati da situazioni didattiche diverse: Rabardel (1995) ha parlato di un influsso degli specifici artefatti utilizzati nell'attività matematica sul pensiero degli studenti. Sembra comunque degno di nota il fatto che non sia avvenuto, né all'interno del dibattito né nelle fasi preliminari, che le attività sui limiti affrontate in precedenza dagli studenti offrissero esplicitamente elementi per l'interpretazione dell'immagine.
Riflessioni sull'esperienza
La richiesta 6, così come le precedenti, ha indirizzato gli studenti verso la matematica ed indotto un confronto fra i suoi concetti ed il messaggio contenuto in Limite circolare.
Nell'esperienza, gli studenti hanno fatto riferimento all'infinito attuale ma non l'hanno riconosciuto come pertinente alla matematica: lo conferma l'uso di alcune espressioni nel dibattito , come “non razionalmente” associata a “senso d'infinità” (Federica, intervento 4, ribadito in 9) e “astratto” associata a “infinito” (F, 1); “concreta” e “razionale” associate a “finito” (Carla, 14). In effetti gli alunni hanno colto il messaggio di Escher, il quale aveva un giorno rivelato di aver sentito «maturare dentro di sé il consapevole desiderio di usare le sue immagini immaginarie per avvicinarsi all'infinito nel modo più puro e più preciso possibile». Gli studenti sono apparsi a volte quasi a disagio e, se così si può dire, alla ricerca di un ”contatto diretto” con l'infinito, come quando hanno detto: “Non riesci a contarli perché se tracci il raggio in un modo ne conti un certo numero in un altro modo un altro numero. Aumenta o diminuisce in base a dove vengono tagliati i diavoli” (Vincenza, 8); “se ci limitiamo a guardare il disegno riusciamo ad arrivare al finito” (C, 14); “tangibile e non tangibile” (Ramona, 49). L'affermazione di Daniele, per la quale i diavoli sono infiniti “andando a guardare fuori dall'opera” (Daniele, 19), sembrerebbe che possa essere interpretata ancora in analogia con quanto affermato da Carla (14), e ribadito da Ramona per la quale cogliere l'infinito comporta che si esca dalla circonferenza: “Se definiamo un limite come ad esempio questa circonferenza, io credo che non si può definire infinito il numero di diavoli e angeli perché c'è un limite e l'infinito non si può limitare all'interno di un limite” (R, 21) ed è la “circonferenza che limita il numero di diavoli e angeli all'interno” (R, 23). In questo caso il termine “limite” viene utilizzato nel senso di “confine”.
Un'impressione su una fase cruciale nello svolgimento del dibattito: l'osservazione iniziale di Vincenza riguardo al numero dei diavoli, vale a dire che “restano sempre infiniti perché il senso di infinità ce lo dà perché si rimpiccioliscono sempre di più” (V, 8) avrebbe forse potuto orientare il dibattito in maniera diversa, vale a dire proprio verso un confronto sul concetto di infinito negli aspetti che gli studenti avevano precedentemente incontrato in matematica. L'insistenza dell'insegnante affinché i ragazzi chiarissero e specificassero quanto di volta in volta detto potrebbe, in via di ipotesi, averli orientati verso considerazioni matematiche elementari, come appunto il contare del quale, ovviamente, avevano una maggiore padronanza.
Il dibattito è terminato con gli studenti che dichiaravano di aver raggiunto una conclusione comune la quale, variamente riformulata, appare in diversi punti della registrazione: “l'idea di infinito” trasmessa dall'Autore e il fatto che nel disegno colgono direttamente solo il “finito”.
In prospettiva didattica
L'analisi di Limite circolare suggerisce uno sviluppo dell'attività con riferimento alle successioni. Lakoff e Núñez (2005, p. 206) indicano l'origine al di fuori della matematica della “Metafora Base dell'Infinito” che ha l'effetto di trasformare l'infinito potenziale in infinito attuale. Parlando poi (p. 241) della successione { x n }= n /(n+1), rilevano che i valori “vengono concettualizzati metaforicamente come localizzazioni su una retta. Visualizzando il processo mediante queste metafore, nel movimento esistono due tracciatori coordinati: il primo si muove da un intero a un altro, partendo da 1, il secondo si muove corrispondentemente dalla localizzazione di un punto a quella di un altro sulla retta dei numeri, partendo da ½. Così, man mano che il primo tracciatore si muove da 1 a 2, il secondo si muove da ½ a 2/3. […] Quando il primo tracciatore «raggiunge l'infinito», il secondo «si avvicina al limite», ossia raggiunge una successione di localizzazioni di punti infinitamente vicine al limite, così vicine che non esiste alcun numero reale positivo che possa misurare una distanza tra tali localizzazioni di punti e il limite stesso”. Alcuni degli aspetti contenuti in quest'ultima citazione sono stati variamente evocati da Ramona all'interno del dibattito, così come riportato poc'anzi. Da ciò, gli insegnanti possono trarre lo spunto per sviluppare il concetto di infinito matematico partendo da situazioni non facenti parte strettamente della matematica.
Idee di fondo per un approccio non formale ai concetti matematici si ritrovano in (Furinghetti, 2002). L'origine della matematica viene considerata come fortemente legata al contesto socioculturale. L'uso dei manuali e la didattica scolastica tendono a nascondere questo fatto sia per l'uso di un linguaggio specifico molto settoriale che per le situazioni che vengono utilizzate. Nella formazione del cittadino (in primo luogo dello studente della secondaria di secondo grado non ancora definitivamente indirizzato a studi professionalizzanti di tipo scientifico) si ritiene che sia indispensabile utilizzare situazioni in cui si possa produrre un'analisi pluridisciplinare, in cui il concetto matematico si integri con quelli di altre discipline. Perché la matematica entri a far parte dell'essere di un individuo, due appaiono essere le modalità possibili: a. che entri pesantemente nel vissuto personale, se quest'individuo diventa uno specialista e la usa nella professione, o se diventa un cultore, un appassionato, oppure b. che le esperienze affrontate consentano , a distanza , un recupero degli aspetti matematici anche attraverso il richiamo sia di esperienze specifiche che del contenuto di altre discipline, il che comporta la “disponibilità” a ragionare in termini matematici anche in contesto interdisciplinare ed extrascolastico.
Per l'utilizzo didattico dei lavori di Maurits Cornelis Escher si possono vedere i lavori di Paola Vighi. In (Vighi, 1996) “Limite circolare” è utilizzato per attività didattiche sulle trasformazioni geometriche: osservazioni qualitative sull'opera, individuazione di un motivo-base, descrizione del movimento che fa passare da una figura a un'altra, riproduzione del disegno originale, studio degli invarianti, composizione di trasformazioni ecc. In (Vighi, 1997) viene presa in esame l'opera di Escher anche per le rappresentazioni dello spazio e per l'infinito e in (Vighi, 1998) per un discorso più generale su matematica e arte.
Nella produzione dell'artista olandese, “Limite circolare IV” è stato preceduto da altri disegni nei quali l'artista ha cercato di rappresentare l'infinito, come “Quadrato limite”: anche in essi è presente il tentativo di aumentare il numero delle figure, rimpiccolendole progressivamente verso il bordo. I concetti matematici coinvolti in queste opere sono, fra gli altri, quello di progressione geometrica e della sua somma, di serie; “Limite circolare IV” si rifà al piano iperbolico, da cui il modello di Poincaré per le geometrie non euclidee. Come ricorda Vighi (1997, p. 294), in quest'ultima sua opera Escher raggiunse l'obiettivo di rappresentare l'infinito attraverso, come egli stesso disse, gli “infinitamente tanti” e gli “infinitamente piccoli”, mentre al di fuori del bordo circolare “vi è il nulla assoluto”. L'opera grafica ed i commenti di Escher aprono le porte al dibattito sull'infinito, che nella didattica può coinvolgere più discipline.
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