Mersenne colpisce ancora!
Marin Mersenne
La chiusura del 2005 ha portato (con Babbo Natale?) un nuovo numero primo. Il più grande di tutti per il momento. La sua scoperta è stata annunciata proprio il giorno di Natale. Si tratta di
230402457–1
Se lo si vuole scrivere per esteso, allora bisogna allineare 9.152.052 cifre successive. Si sta avvicinando la scoperta di un numero primo con più di 10 milioni di cifre, un evento che gli esperti attendono entro quest'anno e che frutterà il premio di 100.000 dollari. Bisogna dire che il 2005 è stato un anno fortunato per i numeri primi: ne sono entrati in classifica ben tre di nuovi. Il primo classificato (in dicembre, come si è detto) ma anche il secondo classificato
25964951-1
(in febbraio, 7.816.230 cifre decimali) ed il sesto: 27653·29167433+1 (di “appena” 2.759.677 cifre). A differenza dagli altri, quest'ultimo non è un numero di Mersenne, e questa è la vera novità, perché da quando nel 1996 è stato lanciato il programma GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) a cui tutti possono partecipare mettendo a disposizione le proprie risorse informatiche, i numeri primi di Mersenne l'hanno fatta da padroni ed a tuttora occupano le prime cinque posizioni.
Ma che cos'è un numero primo di Mersenne e quanti se ne conoscono finora?
Anticamente si riteneva che, se p è un numero primo, allora anche Mp=2p-1 fosse primo. La scoperta che 211-1=2047=23·89 non è primo viene attribuita a Ulderico Regio e risale al 1536. In effetti, M11 è il più piccolo numero di questa forma a non essere primo. È Pietro Cataldi, alla fine del ‘600, a trovare i successivi numeri primi di tipo Mp, in particolare per p=17 e p=19, mentre il monaco francese Marin Mersenne (1588-1648), nell'introduzione alla sua opera Cogitata Physico-Mathematica del 1644, insieme ad altre congetture dimostrate sbagliate in seguito, ad esempio che anche 267-1 è primo, afferma correttamente che 231-1 è primo. I maggiori matematici del ‘700, fra cui Leibniz ed Eulero, si dedicano alla ricerca di quelli che ormai sono noti come “primi di Mersenne”, in molti casi convalidando o rigettando le ipotesi avanzate in precedenza. È proprio Eulero a metà del ‘700 a verificare che Cataldi aveva ragione per 231-1: questo sarà il più grande numero primo per molti anni, l'ottavo numero di Mersenne ( i precedenti corrispondono a p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19).
Passa più di un secolo senza emozioni “à la Mersenne” anche se, nel 1867, a quanto si dice usando solo metodi di divisione diretta, il matematico francese Fortune Landry esibisce un numero primo con 13 cifre decimali: un primato che durerà finché non viene introdotto un potente criterio di primalità da parte di un altro matematico francese Édouard Lucas: “Usando questi risultati… Mr. Landry, all'età di 82 anni, dopo parecchi mesi di lavoro, ottenne il seguente risultato:
264+1=274.177×67.280.421.310.721
come chiunque può verificare in pochi minuti. In seguito, i signori Landry e Le Lasseur dimostrarono separatamente che il secondo di questi fattori è primo .” Chi parla (anzi, chi scrive) è proprio Lucas nelle sue “Récréations Mathématiques” del 1891: ma attraverso il suo criterio, modificato da Lehmer negli anni '30 del ‘900 ed in essenza utilizzato ancora oggi, lui stesso aveva già scoperto il 12-mo numero primo di Mersenne
M12=2127-1
che ha 39 cifre decimali (e siamo nel 1876).
I primi di Mersenne intermedi: M9, M10 e M11 , saranno scoperti in seguito. Qui c'è un'altra lunga pausa nella storia, perché ancora una volta le risorse umane e tecniche sono arrivate alla loro massima potenzialità e occorre qualcosa di nuovo. E infatti, dopo la seconda guerra mondiale arrivano in soccorso i calcolatori elettronici: dagli anni '50 è un susseguirsi di risultati, fino a quello appena trovato che (forse) è il 43-mo primo di Mersenne M43: il dubbio sarà sciolto quando si accerterà che non ne esiste qualcuno inferiore. Di fatto si è sicuri di conoscerli tutti fino a M38=26972593-1 (scoperto nel 1999 sempre grazie al GIMPS) ma occorre ancora verificare che non esistano primi di Mersenne intermedi fra questo e l'ultimo nato.
Rimangono almeno due questioni da trattare (brevemente): intanto, perché si cercano proprio i primi di Mersenne, e poi –fondamentale– perché è interessante questa ricerca. Le risposte a entrambe le questioni, nella impossibilità di una trattazione appena appena approfondita, sono semplici in maniera sconvolgente. Ci si concentra sui primi di Mersenne perché, grazie al test di primalità di Lucas e Lehmer, sono i più facili da trovare, almeno con l'uso di calcolatori, dato che il test richiede di verificare che 2p-1 è divisore di un'opportuna quantità (che dipende da p ) e questa divisione è particolarmente facile da fare nella base binaria dei calcolatori digitali. Quanto al secondo problema, è noto che i numeri primi “grandi” hanno un'importanza sempre maggiore per problemi di crittografia: ma questa appare solo come una comoda scusa. È chiaro che non ci sarà mai nessuna applicazione pratica di un numero che ha quasi dieci milioni di cifre. Il fatto è che la ricerca è bella in sé, è una sfida della nostra capacità di pensare nei confronti di quantità tanto grandi da non corrispondere a niente che esista nell'universo. Se vi pare poco, rivolgetevi a quei pazzi del GIMPS. Ad esempio, anche per avere maggiori e più completi dettagli (magari sul premio pecuniario), consultando il sito http://primes.utm.edu/ curato da Chris Caldwell presso l'università del Tennessee a Martin.
