Semplici modelli matematici di diffusione dei virus
Una introduzione ai più semplici modelli epidemiologici a partire dalle nozioni generalmente note nel quinto anno di Liceo scientifico. Si sviluppano alcuni modelli matematici confrontando il loro comportamento rispetto ai dati diffusi dalla regione Veneto sulla pandemia di Covid-19. Nell'ambito di questi modelli assumono quindi significato termini quali "crescita esponenziale", "R con zero", "immunità di gregge" o altri così spesso citati in questo periodo.
INTRODUZIONE
La pandemia da SARS-CoV-2 che ha così tragicamente toccato molte persone e comunità ci ha obbligati a modificare i ritmi quotidiani della nostra vita sociale e, con le limitazioni ad alcune libertà individuali, ha messo a dura prova il nostro senso di responsabilità. E mai come in questi mesi è apparso evidente come i comportamenti individuali siano strettamente connessi a quelli della comunità in cui viviamo. Un tale inaspettato evento ha, per altri versi, obbligato l'intera comunità scientifica mondiale a studiare non solo origine e struttura di questo nuovo coronavirus nella speranza di giungere nel più breve tempo possibile ad un vaccino ma ha pure fornito innumerevoli occasioni di studio circa i suoi effetti sulla popolazione mondiale e, in tempi di globalizzazione dell'informazione e di mobilità planetaria, sulle diverse forme della sua diffusione nelle nazioni.
In un tale contesto tutti i mezzi di informazione hanno diffuso con continuità notizie sulla diffusione del virus e della patologia Covid-19 e sulle azioni da intraprendere per contenerne il contagio tramite interviste a epidemiologi, infettivologi, virologi, pneumologi, tutti coinvolti nel chiarire le modalità di trasmissione del virus, del suo contenimento, dei suoi effetti sulle persone contagiate. Abbiamo quindi sentito giornalmente utilizzare termini quali "la curva del contagio" o altri collegati ad essa quali il "picco" o il "plateau" o, in riferimento a zone geografiche i "clusters", oppure del fattore R0 e della "immunità di gregge". E per la periodicità della loro diffusione e l'indubbio impatto visivo abbiamo certamente colto dai numerosi grafici a bolle la drammaticità, storica, del contagio.
In questo scritto vorremmo quindi presentare un percorso didattico rivolto a studenti che, a partire dalle loro conoscenze scolastiche, possa fornire gli strumenti di base per interpretare correttamente almeno i termini fondamentali utilizzati in questi mesi di confinamento e di scuola sospesa.
Tratteremo quindi dei più elementari modelli di diffusione di un virus in una popolazione qual è quella del Veneto ma tale lavoro potrà essere esteso allo studio per una qualsiasi regione italiana e alla nazione. I prerequisiti necessari si limitano ad alcune nozioni che sono note a ciascun studente nella fase finale di un percorso liceale scientifico e che comprendono
- Progressioni aritmetiche.
- Progressioni geometriche.
- Definizione di derivata di una funzione.
- Funzione esponenziale.
- Limiti di una funzione.
- Equazioni differenziali a variabili separabili.
- Integrali.
- Utile, ma non necessario, conoscere il metodo di regressione lineare o dei minimi quadrati incontrato probabilmente nell'elaborazione delle esperienze di Fisica.
