Simmetria e matematica 2

"Quanta" simmetria ha una figura?

Per "misurare" la simmetria occorre passare dalle quantità alle strutture

Questo è il primo e naturale interrogativo che si trova nel libro di M.A. Armstrong [1] dedicato alla nozione di simmetria ed al linguaggio specifico con cui viene trattata in matematica: quello della teoria dei gruppi. In fin dei conti, i calcoli sulle quantità costituiscono una parte rilevante dell'osservazione scientifica. È facile -e istruttivo- scoprire che in questo caso la domanda è banale e forse inutile.

Consideriamo le due immagini della Figura 2.7.

 
Figura 2.7 Due figure che hanno la stessa quantità di simmetrie

Consideriamo anche la loro "simmetrià', cioè l'insieme delle isometrie che mutano in sé ciascuna di queste figure. Si tratta in ogni caso di un insieme formato da quattro elementi: per il rettangolo - l'identità (che è una simmetria di qualunque figura), la rotazione di π attorno al centro del rettangolo e due riflessioni, ciascuna avente per asse una mediana del rettangolo; nel caso della banderuola - l'identità e tre rotazioni di π/2, π e 3π/2. Entrambe le figure ammettono dunque 4 simmetrie, ma si intuisce subito che non possono essere considerate equivalenti dal punto di vista della loro simmetria totale: nella prima figura, le due riflessioni hanno periodo 2 -cioè ripetute due volte danno l'identità- nella seconda invece due delle rotazioni hanno periodo 4. E inoltre, nel primo caso le due riflessioni invertono l'orientazione delle figure -come si dice sono "sinistrorse", per intendere che un movimento orario viene trasformato in uno antiorario, mentre tutte le isometrie della seconda figura sono "destrorse".

La conclusione è significativa e va posta nella giusta luce: non ha senso "misurare" la simmetria totale di una figura contando quante sono le sue singole simmetrie. Bisogna anche tener conto di come queste simmetrie si compongono, vale a dire del risultato che si ottiene quando sono eseguite una dopo l'altra, e della loro "parità", cioè della proprietà di conservare o meno l'orientazione delle figure: la simmetria viene misurata dalla struttura algebrica che è data dalla composizione delle isometrie, che è la struttura di "gruppo" (la nozione di "gruppo" viene introdotta in un box qui sotto. Anche senza entrare nella definizione formale di questa nozione, sono chiari il suo senso e la necessità del suo uso).

La nozione astratta di "gruppo" formalizza le proprietà appena enunciate, prescindendo dal fatto che R,S,T... siano trasformazioni. Quello che importa è che per gli elementi del gruppo sia fissata una "legge di composizione" interna (la composizione di ogni coppia di suoi elementi sia ancora un elemento del gruppo) che sia "unitaria" (esista una trasformazione I che si comporta da unità rispetto alla composizione), con "inverso" di ogni elemento (cioè se S è un elemento del gruppo, allora nel gruppo esista anche un elemento S-1 tale che SS-1=S-1S=1) ed inoltre goda della "proprietà associativa".

Si osservi che la "proprietà commutativa" della composizione (ST=TS) non è richiesta (e infatti non è valida per la composizione di trasformazioni piane).

In particolare ci si può chiedere se è vero che "ogni gruppo di isometrie piane è il gruppo di simmetria di qualche figura". La risposta è positiva e risulta di grande interesse perché rappresenta un passaggio concettuale che si muove in direzione opposta a quella tradizionale: non solo a una figura si associa un gruppo - il gruppo delle sue simmetrie - ma, viceversa, da un gruppo si passa a una figura corrispondente, di modo che la struttura astratta di gruppo viene per così dire incorporata in un oggetto materiale, in una figura.

A questo scopo risulta utile il cosiddetto "principio del caleidoscopio": dato un gruppo G di isometrie del piano, l'idea è quella di considerare dapprima una figura priva di simmetria (vale a dire tale che il suo gruppo di simmetria contenga solo l'identità) - per esempio, come nella Figura 2.8, un triangolo non isoscele F1. Applicando a questa figura le isometrie di G, si considera la totalità delle "orbite" che vengono descritte dai punti di F1: la figura complessiva F -che si dice "generata" da F1- viene ovviamente portata in sé da tutte le trasformazioni del gruppo G: si tratta di una figura che ammette G come gruppo di simmetria.

Nella figura è rappresentata, a titolo esemplificativo, l'orbita descritta dal triangolo F1 sotto fazione di un gruppo formato da 4 rotazioni attorno a un punto, che risulterà centrale nella figura complessiva.

Figura 2.8 Il principio del calendoscopio

 Il caleidoscopio è uno strumento di osservazione e gioco che, attraverso riflessioni successive delle immagini in una serie di specchi disposti in maniera opportuna, presenta gli eleganti disegni formati dalle orbite di un elemento, spesso colorato. Trovo simpatico, oltre che utile, che sul suo principio si possano condurre esperimenti e fare costruzioni interessanti.

Quali sono le isometrie piane?

Traslazioni, riflessioni rotazioni e glissoriflessioni

Le trasformazioni fondamentali, che danno significato e valore alla simmetria delle figure sono dunque le isometrie. Nel caso delle figure del piano, il teorema che le individua tutte non è di facile dimostrazione ma si può capire senza difficoltà. Inoltre, qualche tentativo empirico consente di familiarizzarsi con le singole isometrie e convince che si tratta di un enunciato "ragionevole" - nel senso che non possono esistere altre isometrie piane oltre quelle del teorema.

Teorema (classificazione delle isometrie piane). Le uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. Le traslazioni e le rotazioni non alterano l'orientazione delle figure (sono pari o destrorse), le riflessioni e le glissoriflessioni alterano l'orientazione delle figure (sono isometrie dispari o sinistrorse). In particolare l'identità si può vedere sia come una traslazione che come una rotazione.

Nella Figura 2.9, qualche semplice immagine che mostra l'azione delle isometrie -traslazioni, riflessioni, rotazioni e glissoriflessioni- è sufficiente a chiarirne il comportamento. È interessante osservare che il teorema di classificazione delle isometrie piane, già da solo o quasi, permette di ottenere dei risultati non banali. Per esempio: la composizione di due o più rotazioni non potrà mai essere una riflessione (perché la composizione di isometrie pari è ancora pari) mentre con due riflessioni si può ottenere una rotazione o anche, come caso particolare, una traslazione... Provare per esercizio.

Figura 2.9 Le isometrie piane

È istruttivo! Molti risultati di questo tipo, che spesso risalgono ad Eulero -e quindi sono stati formulati nel '700- permettono il formarsi di una sensibilità particolare sulla geometria del piano e, quando vengono analizzati insieme agli enti interessati -centri di rotazione, assi di simmetria e altri luoghi di punti particolari- forniscono del materiale di grande interesse, che sollecita la curiosità.

Altre considerazioni portano a focalizzare l'attenzione verso isometrie particolari, soprattutto per tendere verso la ricerca del "giusto" livello di generalità, a cui i matematici sono spesso condotti dal problema. Questo livello è spesso quello dei gruppi di isometrie "discreti" o "discontinui". Si può dare una definizione formale:

"un gruppo G di isometrie si dice discreto se per ogni punto P del piano esiste un numero reale rP>0 tale che nel cerchio di centro P e raggia rP non cadano punti dell'orbita di P, diversi da P stesso".

Ma anche qui è sufficiente basarsi sul significato intuitivo dei termini: le orbite descritte dai punti del piano sotto l'azione delle isometrie del gruppo non sono curve continue, bensì si presentano come successioni discrete, spesso finite, di punti. È possibile naturalmente considerare anche "gruppi continui" di isometrie piane -come ad esempio il gruppo di simmetria di una circonferenza, che contiene tutte le rotazioni infinitesime- ma questo complica la teoria senza fornire al fenomeno della simmetria un livello di comprensione maggiore (lo fornirebbe ad altri fenomeni!). Un'altra distinzione forse è più importante in questo settore: il fatto che molti gruppi di simmetria sono "finiti", vale a dire che contengono un numero finito di isometrie, e per questo sono necessariamente discreti.

La prima osservazione da fare è che i gruppi finiti di isometrie non possono contenere traslazioni, né glissoriflessioni, giacché la composizione di queste trasformazioni, che si può ripetere indefinitamente, deve ancora essere un elemento del gruppo. In termini geometrici i gruppi finiti di isometrie sono facili da caratterizzare e la dimostrazione è (intuitiva ed) educativa.

Teorema (del punto fisso). Un gruppo discreto di isometrie piane è finito se e solo se ammette almeno un punto fisso, vale a dire un punto che viene trasformato in se stesso da tutte le isometrie del gruppo.

In pratica basta considerare un punto P e la sua orbita, vale a dire l'insieme dei punti T(P), al variare della trasformazione T del gruppo: il punto fisso è il "baricentro" di questo insieme (e di tutte le orbite). Quanti risultati non banali si ottengono a partire da una nozione semplice, ma ben data, e da una buona dose di intuizione!