Spirali e vortici

La bellezza e la perfezione nelle opere d'arte, in particolare nella pittura, nella scultura e nell'architettura, sono spesso gestite da regole matematiche, veri e propri canoni che consentono di disegnare forme di straordinario fascino e incanto.

Nel caso di Leonardo da Vinci (1452-1519) siamo sempre infinitamente sorpresi e profondamente attratti dai disegni e dai dipinti, osservando i quali salta subito all'occhio la precisione, potremmo dire scientifica, e la continua presenza di rappresentazioni relative a linee e superfici matematiche. In particolare spirali, forme elicoidali, vortici si possono ammirare in molte opere riferite ai diversi campi di indagine da lui affrontati a partire, ad esempio, dagli studi sui corsi d'acqua. Sempre, in tutta la sua vita, Leonardo è stato affascinato dalla morfologia dell'acqua che notava essere somigliante a quella dell’aria, del sangue e di ogni altro fluido.

Movimento e velocità

Spirali, superfici elicoidali e vortici sono tipiche configurazioni con cui si può presentare la turbolenza nei fluidi di qualsiasi natura essi siano; e oggi sappiamo che l'analisi dei fluidi dipende da numerosi fattori, non ultimi la viscosità e la velocità del fluido, la forma delle pareti all'interno delle quali il fluido scorre e anche il materiale delle stesse.

Inoltre attraverso modelli raffinati è possibile simulare questi movimenti e prevederne l'evoluzione; stiamo parlando di quella che oggi ha il nome di fluidodinamica, disciplina all'interno della quale vengono analizzati i sistemi complessi, con il relativo studio e con le possibili modellizzazioni che ne consentono l'indagine e l'interpretazione.

Parlando di oggi potremmo anche fare riferimento a uno dei sette Problemi del Millennio: la ricerca delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes; la risoluzione di un sistema di equazioni alle derivate parziali che descrive il moto dei liquidi e dei gas (per esempio quello dell'acqua intorno allo scafo di una imbarcazione). Acqua e aria, i due fluidi fondamentali per la nostra esistenza che hanno comportamenti incredibilmente difficili e complessi da descrivere.

Ai tempi di Leonardo quanto appena detto era completamente sconosciuto, la scienza che se ne è occupata, la fluidodinamica appunto, è una disciplina che si è formalizzata in modo completo nel secolo scorso e che per arrivare a questo ha avuto bisogno di regole e conoscenze matematiche che sono state messe in atto alcuni secoli dopo quello in cui è vissuto Leonardo. Prima non c'era alcuna formalizzazione scientifica solo molta esperienza ed è in questo contesto che il nostro studioso si muove, ma lui rispetto ai suoi predecessori introduce nello studio dell'acqua, e dei fluidi in generale, due nozioni importantissime: i concetti di movimento e di velocità. Infatti è opportuno dire che la sua descrizione è legata ad una straordinaria capacità di comprendere e di astrarre utilizzando, ad esempio, un elemento quale la velocità per porre tra loro in rapporto fenomeni e casi prima considerati separatamente; da sottolineare che lui fa tutto questo semplicemente utilizzando l'esperienza ma ovviamente non possiamo ancora parlare di scienza, possiamo con sicurezza affermare che il suo è un metodo (e questo è già un primo risultato) sperimentale. "La formulazione scientifica – spiega infatti Sergio Escobar in Il Tecnico idraulico tra sapere e saper fare [Leonardo e le vie dell'acqua, Giunti Barbèra 1983, Firenze, pag.14] – di un modello di comportamento dei fluidi in movimento (anche solo per il calcolo della effettiva portata di un canale, problema che era allora base della necessità di questo modello) richiede in realtà l'uso di strumenti matematici propri del calcolo infinitesimale che solo tra Seicento e Settecento trova formulazione. Non è un caso che la scienza idraulica patrimonio, insieme alla tradizione tecnica, dell'Italia sino a tale periodo nel Settecento "emigri" prevalentemente in Francia dove maggior sviluppo ebbe lo studio della matematica infinitesimale". Ricordiamo, a tal proposito, gli importanti risultati nella fluidodinamica ottenuti da Daniel Bernoulli (1700-1782) e da Leonhard Euler (1707-1783).

In realtà tra il Quattrocento e il Cinquecento in Italia nasce una vera e propria tradizione di ricerca e pratica idraulica che crea anche presupposti per un nuovo rapporto tra il sapere e il saper fare, ed è in questo ambito che si colloca il lavoro originale svolto da Leonardo e in particolare quello nel suo periodo milanese durante il quale proprio la mediazione tra sapere e saper fare è stata fondamentale.

La sua notevole capacità manuale gli consente di fare una importante accelerazione in tale studio. Quello che lascia totalmente perplessi è come sia stato possibile per Leonardo, così ignaro delle conoscenze scientifiche, arrivare a rappresentare tali fenomeni con una precisione e con una raffinatezza nei particolari; cosa per lo più impossibile da raggiungere con la sola osservazione dei fenomeni stessi per quanto questa possa essere stata minuziosa e attenta. I disegni delle onde, dei vortici, dell'acqua che cade riportata poi ai movimenti dei fluidi umani (il sangue) sono rappresentazioni talmente precise e complete che solo oggi siamo in grado di eseguire grazie a tutta la strumentazione tecnologica a nostra disposizione. Invece Leonardo è in grado di fare tutto questo attraverso il disegno; ricordiamo che è un uomo del Rinascimento dalle molteplici conoscenze e competenze e compensa la mancanza di quelle scientifiche con la raffinatezza e la precisione dell'osservazione cosa che gli consente di rappresentare perfettamente, e oseremmo dire quasi con scientificità, moltissimi fenomeni naturali.

Studi sulle turbolenze dell’acqua, Windsor Castle, Royal Library.

Studi sull'anatomia del corpo umano, Windsor Castle, Royal Library.

Leonardo allarga i suoi orizzonti e capisce che ciò che accade nell'acqua, accade in ogni tipo di fluido, quindi lo studio del movimento nell'acqua si può estendere a quello nei vasi sanguigni e a qualunque altro fluido in movimento. Infatti coglie analogie e affinità anche tra i processi meccanici che riguardano alcuni organi e fenomeni che sembrerebbero del tutto estranei gli uni agli altri, o non immediatamente correlati tra loro. Pertanto mentre indaga sul funzionamento del meccanismo delle valvole cardiache riscontra che sussistono chiare analogie meccaniche tra i flussi del sangue all'interno del cuore e la circolazione sanguigna e le turbolenze dei moti dell'acqua, tra i vortici di acqua e aria che si formano nei cicloni e nei diluvi, tra la forma arborescente dei bronchi e delle arterie e la quantità di sangue che circola al loro interno. Anche lo scroscio del sangue che si riversa nell'aorta (udibilissimo durante un ecocardiogramma) fa un rumore analogo a quello di un fiume o di un qualsiasi liquido che entra impetuoso in una cavità.

Studi sull'anatomia del corpo umano, Windsor Castle, Royal Library.

Il suo interesse viene ampliato e ovviamente approfondito soprattutto dopo il suo arrivo a Milano quando, in fuga da Firenze, si presenta a Ludovico Sforza che molti anni prima lo aveva invitato ma lui aveva rifiutato la sua richiesta; in questa occasione, tra le altre cose, ottiene la commessa di occuparsi delle vie dell'acqua. Quale luogo più della Lombardia e in particolare Milano risulta maggiormente adatto per lo studio dei corsi d'acqua! Canali, fiumi, torrenti, laghi, un mare di conoscenza in cui navigare e Leonardo si immerge totalmente in tutto questo con la foga e la curiosità che lo ha sempre caratterizzato.

Inoltre a Milano Leonardo incontra Luca Pacioli (1447-1517) e Francesco di Giorgio Martini (1439-1501) dai quali apprende la Matematica fino a quel momento disciplina per lui quasi inesistente. Quando nel 1497 Luca Pacioli lo introduce nel mondo della Geometria, Leonardo esegue una serie di rapidi disegni che seguono, passaggio dopo passaggio, le dimostrazioni di Euclide senza inserire alcun testo esplicativo. Ricordiamo tutti le tavole contenenti la rappresentazione dei poliedri regolari e dei solidi stellati fatta da Leonardo su richiesta di Luca Pacioli e da lui inserite nel suo De divina proportione.

Il modo di apprendere di Leonardo è molto particolare, non a caso egli ha la certezza che il disegno spieghi, dimostri il concetto, la teoria; lui non prende appunti scritti alle lezioni di Luca Pacioli ma disegna e spiega, attraverso le rappresentazioni, le dimostrazioni matematiche. Prima l’esperienza e poi la dimostrazione amava ripetere "ma prima farò alcuna esperienzia, avanti ch'io più oltre proceda, perché mia intenzione è allegare prima la sperienzia e po' colla ragione dimostrare, perché tale esperienzia è costretta in tal modo ad operare; e questa è la vera regola come li speculatori delli effetti naturali hanno a procedere. E ancora che la natura cominci dalla ragione e termini nella sperienzia, a noi bisogna seguitare in contrario, cioè cominciando (come di sopra dissi) dalla sperienzia, e con quella investicare la ragione [Ms E, f. 55r]".

Leonardo è un innovatore anche nella rappresentazione del movimento; egli utilizza una figurazione di viste simultanee che scompongono la continuità del movimento in una successione di immagini indefinite e sommarie: la sua funzione è proprio quella di rappresentare ciò che sfugge all'occhio a causa dell'elevata velocità con cui si compie quel movimento, velocità che non permette di vedere alcun dettaglio di precisione ma soltanto una smaterializzazione e uno sfaldamento della sua forma e della sua densità materica. 

Nettuno guida i cavalli marini, Windsor Castle, Royal Library.

Disegno preparatorio di una battaglia.

La rappresentazione del movimento fatta da Leonardo, ad esempio nel disegno dei cavalli o quello del dipinto preparatorio per la battaglia di Anghiari, anticipa di molto i primi scatti fotografici in cui l'elemento si ripete con una molteplicità e una rapidità uniche, le cosiddette istantanee, ma anche la rappresentazione che poi faranno gli artisti futuristi; si pensi ad esempio all'opera Il cane che corre di Giacomo Balla (1871-1958) e a tutte le altre opere che rappresentano il movimento e la velocità nel periodo futurista.

Spirali e elicoidi

"Il moto è causa di ogni vita" ripete spesso Leonardo nei suoi manoscritti. Allora se il movimento è all'origine di ogni vita e l'acqua è l'elemento naturale che per mobilità è secondo soltanto all'aria, l'acqua è all'origine della vita così come l'aria. La curva che rappresenta la crescita naturale e quindi molte delle forme naturali viventi è la spirale ed è una configurazione che troviamo spesso osservando il mondo animale e vegetale e che incontriamo frequentemente nelle opere di Leonardo.

Egli osserva gli schemi di crescita delle piante, il moto a spirale che guida la fillotassi delle foglie e si accorge anche che è uno schema generale che si riscontra in numerose altre forme di vita organica; ad esempio la disposizione delle foglie su un ramo è fatta in modo che nessuna foglia copra i raggi di sole ad un'altra e descrive nella sua completezza una forma elicoidale.

La spirale, intendendo in particolare la spirale logaritmica e la spira elicoidale da essa generata nella terza dimensione, è la curva che si ritrova in quasi tutte le forme di crescita in natura: dalla forma delle conchiglie alla disposizione di alcune infiorescenze; per antonomasia è la curva della crescita nel mondo vivente! Ricordiamo che esiste anche un altro tipo di spirale, quella archimedea, che unitamente alla doppia spirale, compare nelle decorazioni artistiche fin da epoche preistoriche. La spirale di Archimede di Siracusa (287 a.c.-212 a.c.) ha una caratteristica ben precisa: quella di avere tra due spire consecutive una distanza costante.

Tale tipo di spirale è una curva piana non costruibile con riga e compasso e la cui equazione è esprimibile attraverso le cosiddette coordinate polari (una coppia di numeri reali, indicati generalmente con le lettere ρ, ω che rappresentano rispettivamente una distanza e un angolo): ρ=kω con k, ρ, ω numeri reali; ρ si chiama raggio vettore e ω è l'angolo che caratterizza la posizione di ciascun punto sulla curva, queste due grandezze sono tra loro direttamente proporzionali.

Per quanto riguarda l'altro tipo di spirale che a noi interessa maggiormente, la spirale logaritmica e in particolare la spirale aurea, questa è presente in quasi tutte le forma di crescita naturale sia nel mondo vegetale sia in quello animale. La sua equazione, esprimibile in coordinate polari, è la seguente: ρ=e^ω con e, ρ, ω numeri reali.

È evidente dall'equazione che il legame tra il raggio vettore e l’angolo non è più di diretta proporzionalità ma è esponenziale e quindi tale è la crescita; la caratteristica è che il raggio vettore in qualsiasi punto della spirale forma con la tangente in quel punto sempre lo stesso angolo: non a caso un altro nome della spirale è equiangolare.

Un legame davvero interessante è quello tra una particolare spirale logaritmica, detta appunto spirale aurea, e il rettangolo aureo. Premettiamo che un rettangolo aureo è quello in cui il rapporto tra la misura del lato maggiore e quella del lato minore è uguale al numero d'oro, a sua volta indicato con il simbolo Φ=(1+√5)/2.

Si dice anche che il lato minore del rettangolo è la sezione aurea di quello maggiore. La sezione aurea e il rettangolo aureo hanno sempre costituito il fondamento dei canoni classici per la ricerca della forma perfetta e quindi della bellezza, regole costantemente applicate dagli artisti di ogni tempo. Ricordiamo inoltre che un rettangolo aureo può essere iterato ovvero può generare infiniti altri rettangoli aurei; basta scomporre ciascun rettangolo sottraendo ad esso un quadrato (che ha il lato coincidente con quello minore del rettangolo, cioè con la sezione aurea del lato maggiore) e ricavando così un nuovo rettangolo a sua volta aureo.

Rettangoli aurei ottenuti iterando il rettangolo più esterno.

All'interno del rettangolo aureo di partenza, utilizzando tutti i punti di separazione tra i quadrati e i rettangoli successivi, è possibile descrivere una spirale logaritmica che viene detta spirale aurea ed è appunto la configurazione che si trova nelle forme di alcune conchiglie (ad esempio nel Nautilus), di molti fossili, di molte infiorescenze: questa curva è considerata come uno degli attrattori fondamentali della forma della crescita degli organismi viventi. Proprietà fondamentale e intrinseca della spirale equiangolare e quella dell'autosomiglianza ed è proprio per questa proprietà che tale curva è associata all'accrescimento organico di strutture quali le corna di alcuni animali e le conchiglie. Nelle conchiglie la crescita a spirale assicura che esse non alterino la loro forma mentre crescono. Ogni incremento è simile al precedente e ogni ciclo di accrescimento resta della forma primitiva.

(da sinistra) Spirale aurea e Nautilus

La spirale in uno spazio a tre dimensioni diventa un'elicospirale, forma che spesso riconosciamo in numerose conchiglie e fossili, ad esempio nella turritella; non a caso la rappresentazione del DNA è costituita da una doppia elica, che tutti ricordiamo, formata da due catene polinucleotidiche appaiate e avvolte intorno allo stesso asse.

(da sinistra) Elicospirale e Turritella

Leonardo, da genio poliedrico quale è, sperimenta le forme elicoidali anche in architettura; a lui vengono attribuite magnifiche scale elicoidali e tra queste anche la scala nel castello di Blois e quella a doppia elica creata nel castello di Chambord, quest'ultima costituita da due scale a chiocciola che ruotano nello stesso senso intorno ad un asse centrale e che permette a due persone di salire o di scendere senza mai incrociarsi ma seguendosi sempre con lo sguardo.

Scala attribuita a Leonardo nel Castello di Blois in Turenna.

Vortici

Abbiamo parlato di spirali e di forme elicoidali e a questo punto è spontaneo chiedersi: ma come si formano i vortici? Di sicuro ci è capitato di vedere dei mulinelli lungo i fiumi oppure, osservandola dalla spiaggia, qualche tromba marina formarsi al largo, in alto mare, e abbiamo notato questa forma inquietante come un imbuto rotante.

Tromba marina

Per descrivere questa forma cominciamo con un esempio semplicissimo. Quando togliamo il tappo per svuotare un lavandino (oppure una vasca da bagno) pieno di acqua si vede l'acqua roteare velocemente verso il buco dal quale è stato tolto il tappo: si forma un vortice!

La differenza di velocità del movimento rotatorio, in questo caso anche la quantità d'acqua presente nel contenitore, determina la formazione del vortice che noi riconosciamo soprattutto quando osserviamo delle turbolenze: mulinelli, risucchi, ecc. In questi casi notiamo l'aumento di velocità di rotazione e la formazione di un buco: il vortice; le particelle del fluido, seguendo movimenti a spirale, convergono in quel punto che è detto "nucleo del vortice".

Vortice

In sintesi un vortice, nel modo più semplice, viene descritto dal moto rotatorio di un fluido compiuto intorno ad un asse e in tale moto la velocità aumenta sempre più avvicinandosi all'asse di rotazione. Il fluido, ovviamente, ruota più velocemente vicino all'asse di rotazione e meno velocemente lontano da esso: si pensi all'acqua in un contenitore cilindrico quando comincia a ruotare, all'aumentare della velocità al centro forma quasi un buco (un tourbillon, un mulinello). In realtà un vortice è una struttura complessa e per studiarla in modo accurato occorrono strumenti adeguati unitamente a un'indagine e una formalizzazione decisamente approfondite e minuziose.

Abbiamo descritto la formazione di un vortice dalla semplice osservazione di un fenomeno naturale, quindi non dobbiamo meravigliarci per il fatto che, come abbiamo già detto, Leonardo si accorge, di sicuro per primo e questo lo distingue dagli altri studiosi del tempo, che ciò che muta e nello stesso tempo accomuna il modo di presentarsi di un qualsiasi corso d'acqua è il movimento e ovviamente la velocità dello stesso. Egli comincia a studiare i vari tipi di movimenti in essa presenti, arrivando perfino a classificarli. Ha in mente di fornire una serie di definizioni relative alla morfologia dell'acqua; comincia con i termini gorgo, fiume, torrente, lago e continua così in un lunghissimo elenco. Arriva a formulare un vero e proprio vocabolario idrico, composto da 64 vocaboli, con i quali definisce e specifica i diversi movimenti dell'acqua.

(da sinistra) Studi di vortici e Formazione di un vortice e interferenza tra due moti ondosi.

Studi di vortici 1513, Codice Leicester, Galleria degli Uffizi, Firenze.

Studio di diluvio 1515, Windsor Castle, Royal Library.

Leonardo vede nel gorgo dell’acqua il disegno preciso dello stesso e a coloro che non riescono a vederlo spiega come fare a riconoscerlo attraverso le sue rappresentazioni; non fornisce spiegazioni scientifiche per il fenomeno ma solo l'interpretazione dei suoi disegni.

Così Leonardo descrive i movimenti vorticosi che si formano quando l’acqua precipita su se stessa: "l'onda s'arrovescia indietro e ttorna di sopra, e percossa nel lito fa il tomolo e ritorna di sotto, e ssi scontra di nuovo nella succedente onda che viene di sotto, e lla percote di sotto, e lla riarrovescia di nuovo indirieto, e così successivamente seguita [MAD II, f. 24r]".

Nel Codice Atlantico Leonardo visualizza il calcolo delle forze di trazione. La geometria è fondamentale per visualizzare le forze di trazione, le spinte e le tensioni presenti in ogni moto, comprese quelle che agiscono all'interno di tutti i processi della crescita animale e vegetale e delle trasformazioni morfologiche che avvengono in tutte le forme naturali.

Molto importante è sottolineare che Leonardo ricorre all'uso di modelli anche per studiare i grandi fenomeni idraulici, riducendoli, in tale modo, a dimensioni più piccole e quindi più facilmente osservabili. Di sicuro osserva Sergio Escobar in Il Tecnico idraulico tra sapere e saper fare [Leonardo e le vie dell'acqua, Giunti Barbèra 1983, Firenze, pag.18] "il complesso sistema idrico della val padana dovette presentarsi ai suoi occhi come un grande complesso modello, campo di osservazione affascinante nella sua complessità". La nozione di modello, ai tempi di Leonardo, si era già evoluta; non era più l'oggetto, abbellito al massimo, per compiacere il committente e ottenere l'attribuzione del lavoro. Già Filippo Brunelleschi (1377-1446) aveva trasformato, durante la costruzione della cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze, il modello in un oggetto di studio e di riferimento insostituibile per le manovalanze e per Leon Battista Alberti (1404-1472) era uno strumento per lo studio e la realizzazione di un'idea. Tale idea, essendo generata dalla mente, era imperfetta e poteva trovare la propria forma solo attraverso l'esame, la valutazione e le modifiche attuabili mediante i disegni; questi stessi poi dovevano essere studiati, giudicati e migliorati mediante i modelli, approssimando così, infine, l'espressione dell'idea. Alberti affermava: "Per quanto mi riguarda, debbo dire che molto frequentemente mi è venuto fatto di concepire opere in modo che a tutta prova mi parevano lodevolissime, mentre invece una volta disegnate, rivelavano errori, e gravissimi, proprio in quella parte che più mi era piaciuta; tornando poi di nuovo con la meditazione su quanto avevo disegnato, e misurandone le proporzioni, riconoscevo e deploravo la mia incuria; infine avendo fabbricato i modelli, spesso, esaminandone partitamente gli elementi, mi accorgevo di essermi sbagliato anche sul numero".

Attraverso l'uso dei modelli il lavoro di Leonardo si colloca nella nuova tradizione che, come abbiamo già detto, si alterna razionalmente tra il sapere e il saper fare, insomma al nuovo rapporto tra scienza e tecnica. Egli capisce che, con la simulazione attraverso un modello, può ricondurre ad un unico esempio una serie di numerosi casi osservati nel comportamento del movimento dell’acqua. L'uso del modello gli rende possibile un'astrazione che la dimensione del fenomeno naturale non consente e attraverso lo studio del modello ritorna poi ai casi reali; è un approccio molto moderno quello di utilizzare l'analisi e la simulazione di un modello relativo ad un problema che descrive un fenomeno nella realtà.

Viene in mente a questo punto, quasi spontaneamente, la descrizione che, in Palomar, Italo Calvino fa nel brano Il modello dei modelli: "La costruzione di un modello era dunque per lui un miracolo di equilibrio tra i principii (lasciati nell'ombra) e l'esperienza (inafferrabile) ma il risultato doveva avere una consistenza molto più solida degli uni e dell'altra. In un modello ben costruito, infatti, ogni dettaglio deve essere condizionato dagli altri, per cui tutto si tiene con assoluta coerenza, come in un meccanismo dove se si blocca un ingranaggio tutto si blocca. Il modello è per definizione quello in cui non c’è niente da cambiare, quello che funziona alla perfezione; mentre la realtà vediamo bene che non funziona e che si spappola da tutte le parti; dunque non resta che costringerla a prendere la forma del modello con le buone o con le cattive. […] Quel che ci voleva allora era un sottile lavoro di aggiustamento, che apportasse graduali correzioni al modello per avvicinarlo ad una possibile realtà, e alla realtà per avvicinarla al mondo"; descrizione, questa, che si adatta perfettamente all'utilizzazione del modello così come avviene ai nostri giorni in diversi campi di indagine.

Ma torniamo ai vortici che, unitamente agli elicoidi, ritroviamo, nei dipinti di Leonardo, anche sotto forma di "sonagli", ghirlande, riccioli di capelli fluenti, volute che si avvitano nell'acqua e nell'aria. Leggiamo a tal proposito in Pedretti, Cianchi (1995): "La linea che s'incurva nel tratteggio, definita da Leonardo «linea circonferenziale», aiuta a percepire ciò che non si vede: così nello scheletro come nell'elaborata acconciatura che, ripresa anche dal retro, rimanda agli studi sull'acqua. Infatti, sotto i disegni dei vortici compare la famosa similitudine tra l'acqua e i capelli", e poi: "Nota il moto del vello dell'acqua, il quale fa uso de' capelli, che hanno due moti, de' quali l'uno attende al peso del vello, l'altro al liniamento delle sue volte; così l'acqua ha le sue volte vertiginose, delle quali una parte attende a l'impeto del corso principale, l'altra attende al moto incidente e refresso".

Testa di Leda (a destra studi di acconciature), Windsor Castle, Royal Library.

Testa di donna, Windsor Castle, Royal Library.

Vergine delle rocce, 1498-1508, particolare del volto dell'angelo. National Gallery, Londra.

Stella di Betlemme e altri fiori, particolare. Windsor Castle, Royal Library.

Leonardo aveva già osservato e disegnato tantissime volte le onde e le increspature che la massa d’acqua corrente dei fiumi produce quando il flusso incontra un ostacolo. La forma che assumono, non solo ricorda le forme elicoidali dei viticci (cirri) che si attorcigliano intorno ai meravigliosi gelsi con i quali affresca l'omonima sala del Castello Sforzesco a Milano (la Sala dei Gelsi, precedentemente detta Sala delle Asse), dei cavatappi o dei boccoli di capelli, ma esprime la momentanea stabilità strutturale di una forma disegnata dalle spinte e dalle tensioni superficiali più ricorrenti.

Il getto d'acqua quando precipita sulla massa d'acqua sottostante genera un vorticoso scontro tra spinte discendenti e controspinte ascendenti; questi movimenti presentano nell'acqua curvature a imbuto, avvitamenti a cono, configurazioni spiraliformi ed elicoidali. Il fascino che Leonardo nutre per le correnti turbolente che si formano attorno a un corpo collocato in mezzo a un corso d'acqua lo porta a rappresentarle spesso; disegni assai complessi perché variano a seconda della velocità della corrente, della quantità della massa d'acqua, della forma dell'ostacolo e della sua angolazione. Leonardo aveva visto che la stabilità si combinava con il cambiamento, che il movimento rettilineo tipico di uno scorrimento più veloce, veniva a contatto con il movimento curvilineo, quello rotatorio più lento prodotto dall'elemento che si scontra con la sua stessa massa.

Nella spirale o meglio nell'elicoide Leonardo vede chiaramente la manifestazione di quella forza che esplode in tutta la sua potenza nella formazione del vortice; si nota nei gorghi delle cascate ma ancor più nei vortici di vento e acqua che si formano nei cicloni e nei diluvi, dove gli elementi naturali scatenano tutta la loro forza distruttrice sgretolando e travolgendo ogni cosa che incontrano restituendoci una primitiva immagine del caos.

Le linee a spirale del disegno di Leonardo raffigurano l'elemento dinamico del fenomeno ed è lo stesso Leonardo a chiarire che queste linee sono il risultato di un'osservazione diretta.

Oggi, come abbiamo già detto, sappiamo benissimo come affrontare lo studio dei flussi d'acqua e come questi si comportano alla presenza di un ostacolo. In realtà siamo a conoscenza che esiste anche uno studio ampio e raffinato sulle onde, sulla loro classificazione, sulla loro scomposizione e su tutti i fenomeni di interferenza e diffrazione delle stesse; e l'onda descrive il movimento dell'acqua in tutte le sue forme.

Leonardo procede descrivendo l'onda attraverso i suoi disegni; nel Codice Leicester, sostiene di aver elaborato circa 730 descrizioni dei movimenti dell'acqua, indicando anche il numero dei disegni ad esse collegate.

L'osservazione ostinata di Leonardo per l'acqua e per tutti i movimenti lo porta a descrivere e classificare la forma di dodici tipologie di onde: "De le onde. Sono le onde di nature, delle quali la prima è fatta nelle superiori parte dell'acque, la seconda è fatta di sopra e di sotto per un medesimo cammino, la terza è fatta di sopra e di sotto per contrari ammini e none in mezzo, la quarta è fatta in modo che dal mezzo in su corre per un verso e da esso mezzo in giù fia d'opposito moto, la quinta corre di sotto e non di sopra, la sesta corre di sotto e di sopra sta in contrario modo, la settima fia quella delle sommersioni dell'acque per via di vena ch'entri per la terra, l'ottava fia quella delle sommersioni per via di retrosi che vadino stretti di sopra e larghi di sotto, la nona de' ritrosi larghi in superfizie e stretti in fondo, la decima de' ritrosi colonnali, la undicesima de' ritrosi fressuosi d'egual vacuità, la dodicesima de' ritrosi obliqui. Fa qui tutte le onde insieme e tutti [Ms I, f. 88v]".

Codice Leicester, particolare, Galleria degli Uffizi, Firenze.

Leonardo analizza inoltre le forme di instabilità anche nel vento e in particolare gli effetti che produce la forza del vento durante un fortunale. Aveva più volte notato, lo ripetiamo, che la stessa configurazione rappresenta sia il movimento dell’aria sia quello dell'acqua: mulinello (in piccolo) tromba d'aria/ciclone (in grande). Spirali, elicoidi e vortici sono le forme della dinamica dei fluidi, la stessa che, lo ripetiamo, regola la circolazione del sangue nelle valvole aortiche, della linfa nei sistemi linfatici, ad esempio, delle piante. Leonardo sa che il vortice è uno stato critico e si presenta là dove si avvertono differenze di temperature, di stato della materia, di concentrazione, di peso, ecc.

La pittura, dice Leonardo, studia e raffigura tutti i movimenti delle macchine, degli animali, delle forme naturali, degli uomini e anche quelli degli elementi naturali, come l'acqua, il vento, il fuoco e l'aria sia nelle forme benefiche sia in quelle distruttrici. Non a caso tra le cose più studiate da Leonardo vi sono i vortici, le onde, il vento, il fumo, le ombre, i riflessi, i diluvi: tutti riconducibili alla fenomenologia delle figure dell'instabilità, alle forme del caos.

Ma ci si chiede ancora: come può rappresentare fenomeni così complessi e forse mai visti? In realtà gli storici ricordano che Leonardo aveva 4 anni quando nel 1456 un devastante uragano investì la Toscana seminando panico e distruzione proprio tra Empoli e Vinci (descritto da Giovanni Rucellai nel 1457 e da Niccolò Macchiavelli nelle sue Istorie fiorentine); che cosa sia rimasto nella memoria di un bimbo non possiamo saperlo ma di sicuro il panico e la sensazione di impotenza e di fragilità restano nell'anima anche di un adulto. Da tener presente che anche nel 1513 un'imponente alluvione distrusse Bellinzona e provocò una spaventosa frana del Monte Crenone e forse questo secondo episodio è arrivato alla sua conoscenza.

Vortici giganteschi compaiono nei disegni dedicati al diluvio. Il vortice per Leonardo raffigura sia il movimento delle forze morfogenetiche sia quello di senso contrario delle forze distruttive; contiene cioè al suo interno due spinte contrastanti che cambiano il verso.

Sottolineiamo che, in questo contesto, non ci occupiamo di vortici in ambito conoscitivo o psicologico, potremmo dire dell’anima, del cosiddetto caos sensibile. Vengono in mente le parole di Carlo Emilio Gadda (1893-1973) in Quer pasticciaccio brutto de via Merulana: "Sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuol dire gomitolo. Ma il termine giuridico «le causali, la causale» gli sfuggiva preferentemente di bocca: quasi contro sua voglia".

Una tempesta, Windsor Castle, Royal Library.

Mentre la spirale è legata ad una crescita ordinata anche se esponenziale, il vortice è una crescita caotica. Abbiamo già detto che la forma del vortice possiede il valore e il significato di una struttura universale nella dinamica dei fluidi. Il movimento del vento è del tutto simile a quello dell'acqua. La serie delle raffigurazioni dei diluvi e cataclismi naturali si rivelano essere un tripudio della spirale e dell'elicoide. Queste forme sono presenti in fenomeni le cui dimensioni vanno dal microcosmo al macrocosmo, dalle dimensioni subatomiche (traiettorie dei frammenti di particelle subatomiche quando vengono fatte collidere ad una velocità prossima a quella della luce) a quelle galattiche (forme che assumono i movimenti di enormi ammassi di nebulose nell'universo).

Tante e importanti sono le scoperte e le invenzioni di Leonardo da Vinci ma ciò che maggiormente meraviglia è la facilità con la quale affronta problemi, di natura diversa, fornendone soluzioni. La sua mente attraversa conoscenze diverse con estrema facilità e i suoi studi e le sue scoperte sono strabilianti sia che si tratti di strumenti utilizzabili dall’uomo nella sua vita quotidiana sia che si tratti di indagini all'interno del corpo umano, diremmo all'interno di qualsiasi forma di vita.

Le sue tavole di anatomia, un vero e proprio trattato, le sue tavole di geometria e quelle sui fenomeni naturali dell'acqua e del vento descrivono il mondo con spontaneità e precisione degni dei risultati di una strumentazione moderna ma con la passione e il tratto di un grandissimo uomo, Leonardo da Vinci, che ancora perennemente ci sorprende.

Concludiamo ricordando le parole di Leonardo Sinisgalli (1908 – 1981) per il quale Leonardo da Vinci fu un vero e proprio mentore e che nel brano Poetica di Leonardo, in Furor Mathematicus [Arnoldo Mondadori Edizione, prima edizione marzo 1950, pagg. 54-55] scrive: "Leonardo non poteva lasciarci altro che una fisica (una fisica perfino nella pittura), come i poeti, i grandi poeti, non ci lasciano che una grammatica (una fisica delle parole). Perché correva dietro alla libellula e al nibbio? Perché nella facoltà di volare, negata all'uomo, egli intravvedeva una facoltà perduta dai sensi, una grazia, un dono che la presenza dell'anima ci inibisce. Perché Leonardo studiava i moti delle acque? Perché le proprietà specifiche della goccia d'acqua, quella sua presenza uguale in tutte le direzioni (che è il fondamento del Principio di Pascal), quel suo muoversi soltanto per cadere, quella sua avidità di chiudersi, di cercar riposo dentro una qualunque forma, gli parevano attributi nientaffatto inferiori. Perché intrigavano tanto Leonardo i congegni, i perni, i glifi, le viti, i tendini, le ossa, i cadaveri? Per la sua brama di trovare un Dio dove noi pensiamo che non sia. Tutta la sua caotica esperienza ci ritorna oggi consacrata sotto un nuovo segno. Che non è il segno negativo, non è il Meno. La ganga, la scoria dell'Universo, come il corpo del Poeta, esprime il fiore e la gemma. L'anima non fa che riconoscerne l'esistenza".

Bibliografia

Cataloghi mostre

"Leonardo e le vie d'acqua", catalogo della mostra Leonardo a Milano 1482-1982, Giunti Barbera Editore, Firenze, 1983.

"LEONARDO da Vinci. Il Disegno del Mondo", catalogo della mostra a Palazzo Reale a Milano, del 2015, edizioni SKIRA, Ginevra-Milano 2015.

Libri

Theodore Andrea Cook, "Spirals in nature and art", 1903.

Theodore Andrea Cook, "The curves of life", 1914.

D'Arcy Wentworth Thompson, "Crescita e forma", Universale Bollati Boringhieri, 1992, Torino.

C. Matila Ghika, "Le Nombre d'Or", Edizioni Gallimard, Parigi, 1976.

Martin J. Kemp, "Leonardo da Vinci. Le mirabili operazioni della natura e dell'uomo", Mondadori, Milano, 1982.

Martin J. Kemp, "Immagine e verità. Per una storia dei rapporti tra arte e scienza", Il Saggiatore, Milano, 1999.

Marinoni Augusto, "La Matematica di Leonardo da Vinci. Una nuova immagine dell'artista scienziato", Arcadia, Milano, 1982.

Pedretti Carlo, "Leonardo architetto", Electa, Milano, 1978.

Pedretti, Carlo e Cianchi, Marco, "Leonardo. I Codici", Giunti, Firenze 1995.

Theodor Schwenk, "Il caos sensibile", Edizioni Arcobaleno, Milano 2018.