Un milione di dollari

L'articolo originale è di Lewis Dartnell, qui tradotto dalla nostra redazione

All'inizio di questo millennio, il Clay Mathematics Institute di Cambridge (Massachusetts) ha indetto un concorso per la soluzione dei sette problemi matematici ancora aperti. Come incentivo, ad ogni problema è stato associato un premio di un milione di dollari (820.000 euro!), ovviamente se la soluzione sarà esatta.

Il modello del premio Clay rispecchia la storica sfida, proposta un secolo fa, nel famoso discorso di David Hilbert. Nell'agosto del 1900, il matematico tedesco Hilbert introdusse al Congresso Internazionale di Parigi presentando i 23 problemi più importanti che, secondo le sue previsioni, avrebbero indirizzato la ricerca matematica del secolo che stava cominciando. Nonostante uno di questi sia stato risolto in soli due anni, la maggior parte ancora resiste agli attacchi dei matematici di tutto il mondo, a tal punto che uno di essi – l'ottavo problema di Hilbert ovvero l'ipotesi di Riemann – è stato presentato tra i Clay Millenium Problems .

La sfida lanciata dal Clay Mathematics Institute è stata uno dei temi portanti dell'ultimo Festival della scienza organizzato a Exeter (UK) dalla British Association for the Advancement of Science . A spiegare al pubblico tre di questi problemi si sono succeduti noti divulgatori scientifici quali Simon Singh, Marcus du Sautoy e Keith Devlin.

I sette problemi del Clay Prize sono:

• Il problema dei problemi P e NP
• L'ipotesi di Riemann
• La congettura di Poincaré
• La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
• La congettura di Hodge
• L'equazione di Navier-Stokes
• La teoria di Yang-Mills

P contro NP

Ci sono alcuni problemi semplici. Per esempio, immaginiamo una fila di carte contrassegnate da un numero qualsiasi e che devono essere sistemate in ordine crescente. Un metodo elementare porta a controllare ogni coppia di carte vicine, confrontare i loro valori e cambiare la posizione se il numero minore è a destra. Questo metodo (ripetuto fino a quando non sarà più necessario alcun cambio su tutta la fila di carte) permette di arrivare all'ordinamento richiesto. Una semplice procedura step-by-step , come questa, è chiamata algoritmo .
L'algoritmo, in questo caso, lavora in tempi relativamente rapidi: la quantità di tempo necessaria per la soluzione del problema (ovvero il numero di passi) cresce solo come una potenza della dimensione delle informazioni in ingresso (ovvero del numero di carte). Il tempo di lavoro dell'algoritmo cresce dunque in modo polinomiale e il problema è chiamato di tipo “P”.

Altri problemi sono più difficili. Il problema del commesso viaggiatore implica la ricerca del percorso più breve che tocchi una serie di punti (pensando a un venditore che deve visitare diverse città). Cercare un soluzione ottimale può essere incredibilmente arduo. Il tempo impiegato anche dal miglior algoritmo cresce più velocemente rispetto alla potenza del numero di città. Quando il problema aumenta di difficoltà, diventa impossibile risolverlo in un tempo ragionevole. Tali problemi sono chiamati di tipo “non-P”.
Per altri problemi, come la ricerca di una primitiva, si riesce solo a pensare che siano problemi non-P. Ma non se ne ha la certezza, poiché bisognerebbe dimostrare che non è possibile trovare algoritmi in grado di risolverli in un tempo polinomiale. È stato invece dimostrato che una classe di problemi può essere formulata in un'unica modalità; se uno solo di loro può essere risolto in tempo polinomiale, quindi sono problemi P, allora anche tutti gli altri lo sono.
Questi problemi si dice che abbiano un tempo di risoluzione polinomiale nondetermistico e sono identificati come problemi di tipo “NP”.
Una speciale proprietà dei problemi NP è che, benché siano veramente difficili da risolvere, la loro soluzione è semplice da controllare. Per esempio, ci vuole molto tempo per trovare i fattori primi del numero 5286877 ma ci vuole un attimo per controllare che 439 e 12043 costituiscano la risposta esatta.
Il premio Clay chiede essenzialmente una dimostrazione che i problemi di tipo NP siano effettivamente distinti da quelli di tipo P ovvero che non esistano scorciatoie polinomiali per risolverli. Se questo fosse trovato per uno specifico problema NP, allora tutti gli NP sarebbero P. In realtà i matematici si aspettano che tutti i problemi di tipo NP siano non-P (anche se nessuno è ancora in grado di provarlo).

L'ipotesi di Riemann

I numeri primi sono affascinanti anche perché sembra siano distribuiti casualmente sulla retta numerica ed è impossibile predire dove si trovino. È più semplice stimare quanti numeri primi ci siano al di sotto di un determinato numero. Per esempio, ci sono quattro numeri primi minori di 10 e 25 minori di 100. Gauss scoprì che si può fare una accurata congettura della loro frequenza, trattando l'occorrenza dei numeri primi come il lancio di un dado con un certo numero di facce (che cresce al crescere del valore dei numeri). C'è una ragionevole corrispondenza tra il grafico di questa funzione logaritmica integrale e la scala dei numeri primi.
Uno degli studenti di Gauss, Riemann, scoprì che era possibile ottenere una migliore previsione, usando un concetto familiare ai musicisti. Un diapason produce una singola nota: un'onda sinusoidale pura. Un violino, che suona la stessa nota, suonerà diversamente poiché genera anche una serie di armoniche della nota fondamentale. Questa moltitudine di onde sinusoidali, sommate, produce una vibrazione della corda a forma di dente di sega. La somma delle armoniche, prodotte da un clarinetto, d'altra parte, produce un'onda quadra. La scoperta di Riemann era che la "nota" fondamentale della funzione usata da Gauss poteva essere avvicinata alla scala dei numeri primi aggiungendo delle "armoniche". Ognuna di queste armoniche corrisponde a una soluzione della funzione zeta , che ha un numero infinito di soluzioni. Il fatto incredibile è che una componente di tutte le soluzioni verificate da Riemann vale ½.
L'equivalente musicale è che tutte le armoniche sono suonate con la stessa intensità sonora: sono perfettamente bilanciate e non vengono coperte dalle altre. Da un punto di vista matematico, Riemann comprese, intuitivamente, che tutte le soluzioni della funzione zeta cadono sulla retta x = 1/2 ma non fu in grado di provarlo. Questo è stato poi dimostrato vero per il primo miliardo e mezzo di armoniche, senza che ciò implichi che sia vero sempre.
Questa è l'ipotesi di Riemann; ogni soluzione della funzione zeta ha parte "reale" uguale ad ½. Chi proverà questa ipotesi vincerà il premio Clay da un milione di dollari.

Louis de Branges de Bourcia, un docente francese ora negli Stati Uniti, alla Purdue University, afferma di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann. Ma “la comunità dei matematici è scettica” – spiega du Sautoy – e sottostima il lavoro di de Branges, nonostante egli sia diventato famoso per aver dimostrato anni fa uno dei grandi problemi posti da Hilbert (con una soluzione che all'inizio fu accolta con lo stesso scetticismo).

La congettura di Poincaré

Il terzo e ultimo intervento sui Problemi del Millennio è stato tenuto da Keith Devlin, professore al dipartimento di Matematica di Stanford e editorialista del quotidiano inglese The Guardian . Devlin, che ha presentato il video ufficiale del Clay Mathematics Institute sui problemi, è anche autore del libro The Millenium Problem: The Seven Greatest Unsolved Maths Puzzles of Our Time .
Poincaré formulò la sua famosa congettura un secolo fa. La Topologia è la disciplina matematica che riguarda le superfici e le varietà a più dimensioni. Un esempio di una varietà a 2 dimensioni è la 2-sfera, per cui possiamo pensare alla superficie di un pallone da calcio. Qui la superficie stessa è 2-dimensionale ma è “curvata” nella terza dimensione. La Topologia delle superfici è anche chiamata geometria dei fogli di gomma poiché studia quanto viene preservato attraverso le deformazioni. Per esempio, la mappa della metropolitana di Londra è una rappresentazione distorta della reale disposizione geografica delle stazioni, come se la mappa fosse stata disegnata su un foglio di gomma prima di venir stirata. Solo le proprietà topologiche, come l'ordine delle stazioni sulla linea Bakerloo e le linee che si possono prendere cambiando a Oxford Circus, rimangono invariate. Le proprietà geometriche, come le distanze o gli angoli tra le linee, non sono importanti.
La topologia dei piani bidimensionali curvati in una superficie chiusa (come un pallone da calcio) è più complicata. La classificazione delle varietà 2-dimensionali è stata ben definita prima di Poincaré. È stato mostrato che, se si prende una sfera come base, tutte le altre superfici chiuse e lisce possono essere ottenute da questa attraverso delle deformazioni. Per esempio, creando un foro all'interno di una sfera e ricongiungendo i bordi si ottiene un toro (di tipo 1), più familiare con il nome di ciambella . Se si fa un altro buco nella stessa superficie, si viene a creare un toro (di tipo 2) e così via. Seguendo le regole della geometria dei fogli di gomma , ogni stiramento o torsione o rimodellatura possono essere realizzati su una superficie senza cambiarne le caratteristiche fondamentali. Così, in realtà, una ciambella e una tazzina da caffè sono la stessa superficie: entrambe hanno un unico buco. (Ad esser rigorosi, il buco non è propriamente nel toro: il toro è la superficie e il buco è nello spazio intorno alla superficie. Una formica che cammina attorno alla superficie di una ciambella non si accorgerà mai dell'esistenza di tale foro)
È stato provato, in due dimensioni, che ogni varietà può essere ottenuta distorcendo una sfera o una serie di tori (di ordine n) a loro volta generati dalla sfera base. Ma cosa si può dire a proposito delle varietà tridimensionali? Il caso è particolarmente importante poiché si pensa che il volume del nostro universo sia una superficie a tre dimensioni, curvata in uno spazio quadridimensionale.
Poincaré pensò che poteva usare un metodo simile a quello delle varietà bidimensionali. Prese una sfera a tre dimensioni e cercò di mostrare che ogni altra varietà liscia e chiusa di tre dimensioni può essere ottenuta tramite questa, con una serie di trasformazioni. Presto, però, si accorse che la stessa caratterizzazione di una sfera di ordine tre non era semplice ed era ugualmente cruciale per la comprensione delle varietà tridimensionali. Un cammino chiuso può esser stretto a un punto su una sfera di superficie bidimensionale, ma non su un toro, dimostrando così che si tratta di due varietà fondamentalmente distinte. È come avvolgere del nastro isolante intorno a una pallina da tennis e lentamente srotolarlo. Questo non può essere fatto intorno a una ciambella, poiché il nastro isolante raggiungerà un punto ove sarà costretto attorno all'anello della ciambella e non potrà avvolgersi più.
Secondo la congettura di Poincaré un argomento analogo funziona per definire le 3-sfere (come 3-varietà senza buchi) ma non riuscì mai a dimostrarlo. La congettura di Poincaré generalizzata è stata dimostrata per tutte le dimensioni maggiori di quattro, ma quella originale rimane ancora indimostrata.
Un matematico russo, Grigori Perelman, ha presentato un abstract a una rivista online nel novembre del 2002. Se l'articolo si dimostrerà inattaccabile, Perelman avrà dimostrato un teorema molto profondo conosciuto come la congettura della geometrizzazione di Thurston , di cui la congettura di Poincaré è un caso particolare. Ma Perelman deve ancora inviare una presentazione formale del suo lavoro e sembra noncurante del premio di un milione di dollari. In nessuno dei suoi articoli o interventi, ha mai menzionato la congettura di Poincaré e si è rifiutato di parlare con i giornalisti del suo lavoro. La dimostrazione è lunga un centinaio di pagine e, come la dimostrazione di Wiles dell'ultimo teorema di Fermat, può aver bisogno di anni per essere rigorosamente controllata dalla trentina di matematici in tutto il mondo qualificati per tale operazione. Per Devlin, “molti esperti pensano che la dimostrazione di Grigori Perelman della congettura di Poincarè sia corretta ma bisognerà aspettare diversi mesi prima che gli esperti siano sicuri delle loro conclusioni”.