Un modernariato che fa riflettere

Roger Godement è stato uno dei matematici francesi più brillanti e attivi della seconda metà del Novecento. Allievo di Henri Cartan e convinto bourbakista sin dai primi anni ’50, è particolarmente noto per le sue ricerche in Analisi funzionale, in Algebra, sulla funzione zeta e sui gruppi di Lie.

Quello che scrive nella prefazione del suo Cours d’algèbre del 1966 fa indubbiamente riflettere. Sono passati solo 50 anni e il panorama matematica appare decisamente cambiato. Altro che “2+2 fa 4”! Le convinzioni di Godement sul rigore, la precisione espositiva, una generalizzazione “spinta” sembrano appartenere ad un tempo molto lontano.

Siamo andati avanti o indietro, o ce la caviamo con l’éscamotage dell’incommensurabilità dei diversi periodi storici? Lasciamo ai lettori del sito (e di Godement) la risposta e questo vale anche per l’inusuale e radicale “forzatura” politica con cui il matematico francese chiude la sua prefazione.

Roger Godement

L’introduzione, nei programmi di Matematica delle facoltà scientifiche di nozioni d’algebra relativamente moderne ed estese, ha reso urgente la redazione in francese di un’opera di riferimento accessibile ai principianti. Il libro che presentiamo qui rappresenta il tentativo di colmare questa lacuna. Ci proponiamo adesso di tracciare uno schizzo delle principali idee che ci hanno guidato nel redigerlo. (…)

Gli argomenti tratti sono quelli oggi considerati indispensabili per i futuri matematici e fisici: insiemi e funzioni; gruppi, anelli, corpi,numeri complessi; spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici; spazi vettoriali di dimensione finita, sistemi di equazioni lineari, determinanti, formule di Cramer; polinomi, frazioni razionali, equazioni algebriche; riduzione di matrici. La scelta degli argomenti riflette evidentemente l’evoluzione della Matematica negli ultimi cinquant’anni, ma abbiamo pensato che questa evoluzione si debba anche tradurre nell’adozione di uno stile che, fino a poco tempo fa, era riservato ai matematici professionisti.

Troppa gente, soprattutto tra coloro che si limitano a utilizzare la Matematica, sostiene che sia inutile e addirittura dannoso scrivere in maniera troppo rigorosa i testi per i principianti, dimostrare ogni enunciato, introdurre nozioni troppo generali, utilizzare una terminologia precisa e priva di fioriture. Se avessero ragione, vorrebbe dire che (contrariamente ai matematici professionisti e anche a ciò che detta il buon senso) i principianti imparano meglio la Matematica dai testi  scritti in maniera più approssimativa. (…)

Si deve osservare che i progressi realizzati a partire dall’inizio del secolo nella Matematica permettono, a chiunque lo desideri, di rinnovarne sostanzialmente i metodi di insegnamento sia tramite l’apporto di nuove nozioni, semplici e generali che permettono di allargare notevolmente la portata dei ragionamenti tradizionali, sia rendendo accessibili a tutti dei risultati altrimenti considerati ostici per i principianti. La continua ricerca di rigore, di cui sempre hanno dato prova i grandi teorici della Teoria dei numeri, che negli ultimi trent’anni si è diffusa in tutti i campi della Matematica, è finalmente diventata una preoccupazione anche degli autori di testi scolastici, al punto che tanti di loro sono addirittura più all’avanguardia dei loro colleghi professionisti. Questo rinnovamento (e le esagerazioni che talvolta lo hanno accompagnato) non è certo stato fatto con lo scopo di sollevare le proteste di certi utilizzatori, frustrati dalla fatica che fanno a comprendere i testi dei loro figli. Capita spesso che i matematici vengano criticati per come esagerano l’importanza dei loro contributi più teorici, magari distogliendo l’attenzione degli studenti dai problemi più concreti. Ma cosa dovremmo allora dire per esempio degli specialisti della ricerca spaziale che trovano del tutto naturale reclamare delle somme di denaro gigantesche per l’esplorazione di Venere mentre, sotto i loro occhi, milioni di persone muoiono di fame? La Matematica ha, se non altro, il vantaggio di essere a buon mercato!

A rischio di provocare in qualcuno quei sentimenti di orrore e costernazione che Paolo Uccello ha così meravigliosamente immortalato nel Miracolo dell’ostia profanata, devo esprimere il mio disaccordo con tutte quelle personalità che oggi domandano agli scienziati, e ai matematici in particolare, di dedicarsi quasi esclusivamente alla formazione di quei tecnici di cui – dicono – abbiamo urgentemente bisogno per sopravvivere. Visto come stanno le cose, a noi sembra invece più opportuno che, nelle grandi nazioni sviluppate tecnicamente e scientificamente, il primo dovere dei matematici e degli altri scienziati, sia quello di formare proprio quel tipo di uomini che non ci è richiesto: uomini capaci di riflettere con la propria testa e di individuare gli argomenti falsi e le frasi ambigue e a cui la diffusione della verità importa molto di più di quella della televisione a colori. Degli uomini liberi, non dei robot o dei tecnocrati. (…) E’ anche con l’insegnamento della Matematica che si può trasmettere alla gente il gusto della libertà e della critica e l’abitudine ad apprezzare nell’essere umano la dote della facoltà di comprendere. (…)

Ci si è ugualmente sforzati di riportare i teoremi nella loro versione più generale possibile sempre rispettando un criterio evidente, avendo cioè ben chiaro che per i principianti una generalizzazione è nociva se obbliga a complicare sostanzialmente la dimostrazione di un risultato altrimenti semplice oppure se non ha effettivamente un utilizzo pratico. Ad esempio, nel trattare l’algebra lineare, argomento generalmente studiato limitandosi al caso di spazi vettoriali reali di dimensione finita, abbiamo esteso la trattazione agli spazi vettoriali su corpi commutativi qualsiasi (o anche non commutativi se l’ipotesi di commutatività è superflua). Le nozioni più semplici, in cui non si utilizzano che addizioni e moltiplicazioni, sono ugualmente esposte nel contesto dei moduli su anelli qualsiasi, strutture algebriche che giocano in ogni campo della Matematica (fatta eccezione dell’Analisi) un ruolo importante almeno quanto quello degli spazi vettoriali poiché la nozione di modulo include come suo caso particolare quello di gruppo commutativo. Le semplificazioni che si potevano apportare limitandosi al caso degli spazi vettoriali sarebbero state più che compensate dalla perdita di generalità che una simile limitazione avrebbe implicato. E’ solo concedendo ai giovani la possibilità di apprendere direttamente i risultati più generali che questi potranno in breve tempo assimilare la grande mole di risultati e scoperte a cui si è pervenuti negli ultimi cento anni di ricerca matematica. (…)

Infine, contrariamente alla tradizione in materia di testi per principianti, abbiamo riportato una corposa e ben meditata bibliografia nella quale sono citati anche i testi di molti matematici di primo livello. Ci è sembrato utile che il lettore potesse procurarsi e consultare qualcuno di questi libri, al fine di prendere conoscenza di altri punti di vista possibili e di abituarsi a consultare dei libri.

Molti di questi testi, per la maggior parte stranieri, forse contribuiranno a far prendere coscienza a molti giovani che dall’età di vent’anni sono mistificati da una propaganda schiacciante di quest’epoca del fatto che, pur trascurando quelle che i nostri nonni chiamavano le “popolazioni inferiori”,  la Francia non è che un isolotto di cinquanta milioni di persone circondato da un oceano di 700 milioni di uomini bianchi che come noi vanno a scuola dall’età di sei anni per poi magari restarci – come avviene in certi Paesi – più tempo che noi. E’ facile calcolare che i migliori lavori di Matematica hanno circa una probabilità su quattordici di essere scritti dalla gente “delle nostre parti” e questo trova conferma nell’ambito dell’Algebra elementare. E’ una cosa che non possiamo nascondere nel momento in cui certi giovani, certo non responsabili delle centinaia di migliaia di cadaveri che invece gravano sulla coscienza dei loro padri, rischiano di cadere nelle grinfie dal nazionalismo, del razzismo e della xenofobia.