Essere e non essere Riflessioni sul significato filosofico della conoscenza matematica.

Professor Toth, La ringrazio per aver accettato di rispondere ad alcune domande. Mi piacerebbe ripercorrere la sua evoluzione personale. Sappiamo, ad esempio, che la Matematica e la Filosofa sono state le grandi passioni della sua vita. Se non sbaglio, la maggior parte dei suoi studi verte intorno a temi inerenti queste due discipline. Quale delle due lo ha affascinato per prima e come è nato il suo interesse per queste ricerche?

Sì è vero ma -vede- ora sono arrivato a un punto nel quale posso parlare di queste cose più tranquillamente, forse anche in modo più limpido; ho una prospettiva un po' più chiara e più decisa sulla relazione tra Filosofia e, Matematica. Innanzi tutto io non sono un matematico; ho avuto molti amici matematici, tra loro anche alcuni grandi matematici, e so che cosa questo voglia dire. Certo, non sono totalmente ignorante nel campo; ho ottime conoscenze in ambiti specifici e limitati, ma ovviamente sono lontano dal sapere tutto. C'è un piccolo settore in cui ho conoscenze forse più solide.

Al Liceo sono stato tra i tre o quattro allievi bravi in Matematica ma questo interesse è cominciato soltanto quando ho iniziato a studiare l'Algebra. Prima, sui calcoli aritmetici, ero un alunno debole, anche molto annoiato; il calcolo era molto fastidioso e non aveva nulla che potesse suscitare il mio interesse. Con l'Algebra è iniziato il mio coinvolgimento. È stata come una fiamma che si è accesa, come una sostanza incendiaria che prende fuoco immediatamente. Il mio interesse, però, era molto diverso da quello dei miei coetanei che amavano soprattutto risolvere problemi complicati, interessanti, affascinanti. Anch'io ero interessato ai problemi ma, nonostante ciò, non vedevo una finalità specifica in questo lavoro.

I problemi e i teoremi che ho incontrato mi hanno sempre affascinato per il loro essere sofisticati, per la loro eleganza, la loro bellezza, la ricchezza dei loro contenuti ma, qualunque sia il motivo, non sono mai riusciti a soddisfare la mia sete di conoscenza. Io ero attratto dalla conoscenza di altre cose, delle quali supponevo e sentivo vagamente e confusamente l'esistenza segreta dietro il testo specificamente matematico, senza poter mai formulare chiaramente di che cosa si trattasse.

Ad ogni modo, mi sono reso conto fin dall'inizio che la matematica non si riduce al solo calcolo, alla risoluzione di problemi o al ragionamento deduttivo: benché essi siano sofisticati e degni dì ammirazione, restano per me dei rompicapo, certo di alto livello, altissimo anche, ma sempre dei rompicapo.

Il mio interesse -cosa che non condividevo con ì miei amici, i quali mi criticavano per questo, era: perché meno per meno fa più? A circa tredici anni avevo scoperto, da solo, il triangolo di Pascal [Tartaglia], che il mi( professore di Matematica ignorava così come io stesso ignoravo. Come, molti ragazzi della mia età hann già fatto e faranno la stessa scoperta Alla mia domanda il professor rispondeva "ah, perché meno per meno risulta più? Niente di più sen Alice: la negazione della negazione un'affermazione!", risposta che non mi soddisfaceva completamente e che ho trovato, mi scusi, piuttosto idiota! E poi spiegava i numeri immagina. Inizialmente abbiamo appreso "che non esiste nessun numero che moltiplicato per se stesso dia come risoultato -1" e poi lo stesso professore il giorno dopo, ha iniziato la spiegazione dicendo "oggi parliamo dei numeri immaginari, dei numeri che moltiplicati per se stessi danno come risultato un numero negativo". Ma come pensavo io ? che cosa le consente oggi di parlare di questi numeri, come se obiettivamente esistessero, quando fino a ieri lei stesso ha affermato che tali numeri rappresentano una cosa impossibile!

Non avendo avuto alcuna risposta per me soddisfacente, ho cominciato a leggere gli autori classici ed ho scoperto che, per questi e in ogni periodo, i miei interrogativi erano ancora questioni aperte, e che per loro stessi le mie domande non erano così ridicole come le ritenevano i miei professori.

Professor Toth, fino a che punto la sua ricerca tra gli autori classici è riuscita a confortarla nel farle trovare le risposte alle sue domande?

Le rivelazioni che hanno incontrato lì gli italiani, che per primi si sono avventurati al di là dello Stige dell'Aritmetica, hanno designato questi figli illegittimi del pensiero con i termini immaginario, fittizio, impossibile, falso, sofistico -adeguati al loro stato ontico. Con voi, cari signori, l'essenza si può per lo più ricavare dal norme dove essa appare anche troppo palesemente quando vi si chiama Immaginario, Fittizio, Impossibile, Falso, Sofistico... si rivolgeva il Dottor Faust matematico al Principe delle Tenebre. Sì, il loro nome esprimeva senza alcun dubbio la loro autentica essenza e io ero giustamente attratto dal loro statuto ontico stravagante e mi sono reso conto del perché la coniugazione del verbo essere è talmente irregolare anche nel linguaggio di una scienza talmente esatta come la Matematica.

Ho letto Leibniz e Cavalieri, Cardano; ho analizzato l'opera Harmonices mundi di Keplero e, al posto di un testo scientifico razionale, mi confrontavo con un discorso mistico, magico, alchemico. Le loro opere sembrano piuttosto testi di magia nera. Nonostante ciò, tutti questi studiosi sono arrivati a delle conclusioni che rappresentano una solida cultura matematica. Provate a dividere il numero 1O in due parti, in modo che il loro prodotto sia uguale a 40. Evidentemente è impossibile! Eppure, benché implichi una serie di torture mentali, ciò è fattibile grazie ad alcuni numeri sofistici -scriveva Cardano nel suo Ars magna.

G. Cardano

E nel suo Opus novum de proportionibus, parla a proposito di questi numeri immaginari come di "non-numeri": quot modis numerus possit produci ex non numero. Anche dopo tre secoli, Jacques Hadamard non nasconde la sua ammirazione e il suo stupore: la finzione così temeraria, così fòlle di Cardano, di una evidente e direi, cinica assurdità! Leibniz percepiva chiaramente l'odore solforoso che emanavano dall'al di là questi "anfibi dell'essere e del non-essere", come egli stesso li denominava: uscito dall'irrazionale, stupefacente e nel contempo elegante, questo numero è un mostro del mundus idealis dove lo spirito va alla ricerca del proprio rifugio.

Questa era certamente la ragione per la quale i numeri immaginari non sono stati accettati così facilmente. Il grande Carnot protestava ancora con veemenza, all'inizio dell'Ottocento, contro l'intrusione dell'immaginario e dell'impossibile nelle Matematiche e -in nome della verità scientifica della filosofia materialista -esigeva la loro radicale eliminazione: inintelligibile per sua essenza e palesemente assurda, la teoria dei numeri negativi e immaginari costituisce una nube impenetrabile, un labirinto di paradossi, uno più bizzarro dell'altro, esseri di ragione che non dispongono di nessuna ragione d'essere. Rinunciarvi, rappresenta una necessità. E il grande matematico svizzero, Lambert, scriveva in una lettera a Immanuel Kant: è una non-entità impensabile, Signore, simbolo dell'assurdità logica in sé. Prima di Carnot, in Inghilterra -in nome del buon senso empirico- i numeri immaginari furono in effetti eliminati dall'insegnamento universitario. Il mistero dei numeri immaginari! Lo spirito dei matematici trabocca di demenza! esclamava il celebre filosolo, George Berkeley. Anche Gauss li chiamava umbra umbrae, in opposizione a Carnot. Lui fu il primo a protestare contro i termini immaginario, fittizio, impossibile, sofistico, e, per primo, attribuì lo stesso valore ontico di esistenza attuale ai numeri così denominati che ai numeri detti reali. Motivava la sua decisione con gli uguali diritti di cittadinanza nell'universo degli enti matematici dei quali, secondo lui, questi numeri erano stati, fino a quel momento, ingiustamente privati. Metafora politica anche molto bella, senza dubbio, perché era l'epoca in cui, in Germania, si discuteva se bisognasse accordare uguali diritti di cittadinanza agli ebrei, uguali diritti dei quali Gauss era sostenitore incondizionato. Parlare di estensione dei diritti di cittadinanza era, non soltanto moralmente e politicamente, ma, anche logicamente, completamente giustificato perché gli ebrei, sprovvisti fino ad allora di diritti civili, disponevano ciononostante di esistenza reale e costituivano un sottoinsieme dell'insieme della popolazione dei paesi tedeschi.

Accettare un "ente" e contemporaneamente la sua negazione - l'essere e il non essere- è mostruoso e ovviamente impossibile per una cultura centrata principalmente sulla disciplina, sull'ordine, sul rigore, quale è stata quella matematica, di sicuro fino all'inizio del secolo scorso. Lei me lo conferma?

Certamente... ma come è possibile parlare di uguaglianza di diritti tre l'esistenza dell'immaginario, del fittizio, dell'impossibile -in una sola parola di ciò che non esiste- con ciò che esiste? Questo significa in effeti estendere la validità del predicati ontico "essere" dal campo dell'essere al campo del non-essere! Azione certamente stomachevole, inaccettabili e repellente per una scienza considerata essa stessa, da tempi immemorabili, come l'incarnazione del rigore logico! Si sente spesso dire: si trattava dell'eliminazione di una restrizione. Ma quale restrizione? Si avrà coraggio di parlare della restrizione del predicato essere vivente se questo è attribuito unícamente ai cavalli, ai leoni, ai cammelli con l'esclusione categorica della sfinge, del centauro della sirena?

Imre Toth
JE SUIS JEU
Retrospettiva a Regensburg

Giustificare con una metafora politi l'attribuzione improvvisa del predicato ontico essere a dei numeri immagiinari sprovvisti di esistenza, significava che (esistenza reale di questi numeri non-reali non può essere fondata su alcun argomento logico, alcuna dimostrazione matematica.

O ancora, ecco un'altra storia simile, raccontata nelle sua lingua originale, cioè quella dei matematici greci (perché soltanto questa lingua rende esplicitamente visibile la gravità del problema ontologico e logico che nasconde questa storia):
non esiste alcun logos, [2*, 1], la cui composizione moltiplicativa con se stesso sia uguale al logos [2, 1]. Ma l'universo del Logos -l'universo della parola, l'universo della Ragione, quello dell'Essere e della Verità, identico all'universo del discorso aritmetico - è onticamente chiuso; nessuna composizione dei logoi permette di uscirne. Al di là di questo universo c'è il campo del non-essere aritmetico, quello dell'ineffabile, del falso e dell'impossibile, quello dell'alogos, dell'Irrazionale! Descartes era veramente corretto nel chiamare "numeri immaginari" questi numeri che noi chiamiamo "irrazionali". In effetti, nella coppia ordinata [2*, 1], il simbolo <<2*>> è il simbolo del non-essere aritmetico, di un oggetto aritmetico impossibile, il segno metalinguistico della parola ineffabile. Che cosa permette allora di affermare che esiste un rapporto, o piuttosto una ragione irrazionale, [2*, 1], tale che [2*, 1]*[2*, 1]=[2, 1]? Ciò impone, evidentemente, il passaggio dal non-essere all'essere. Ciò significa attribuire dell'essere al non-essere, un fenomeno ontologico del quale Platone era già stato perfettamente cosciente e che si trova al centro delle sue riflessioni nel Sofista e nel Parmenide e del quale parla nel suo Epinomis, come di un miracolo, vera opera divina, che -per colui che è capace di comprenderla- oltrepassa l'ordine delle cose umane.

Nel tredicesimo libro degli Elementi, Euclide parla di un numero irrazionale, che corrisponde alla "sezione aurea" o alla "divina proporzione" di Luca Pacioli, come di un logos alogos, di una ragione irrazionale, che si chiama apotome.

No, l'estensione del predicato ontico "essere" al campo del "non-essere", l'estensione del logos al campo dell'alogos -lontana dall'essere una generalizzazione o un'estensione- è piuttosto una evidente assurdità, una contraddizione in adjecto che offende il buon senso, l'incarnazione dell'impossibile in sé!

Paul Erdos

Sempre, quando ci siamo incontati, il grande teorico dei numeri Paul Erdos, mi poneva invariabilmente la stessa questione: dimmi come è stato possibile che i greci siano arrivati all'idea dell'esistenza dell'irrazionale? Io non riesco a capirlo! Era l'idea più decisiva di tutta la storia delle Matematiche, ma un atto veramente inconcepibile!

L'essere e il non-essere, in un continuo scambio di ruoli, diventa una teoria affascinante, ma chi determina la verità dell'uno o dell'altro o -se non è troppo scandaloso- di entrambi? E soprattutto come è possibile tutto questo in un contesto così rigoroso come quello del sapere matematico?

Si, tutto questo mi ha veramente affascinato perché mi ha subito condotto ad un'idea che mi sembrava tanto stravagante quanto inafferrabile: in opposizione alle scienze della natura, lo sviluppo di quelle matematiche ci offre lo spettacolo di un permanente rovesciamento ontico: la trasmutazione del non-essere in essere, dell'impossibile in realtà. In effetti, in tutti questi sviluppi matematici, il non-essere precede l'essere. Si, senza alcun dubbio ma -nelle Matematiche- si tratta di un non-essere che dispone di proprietà concrete, in particolare esattamente delle stesse proprietà dell'essere.

Platone:
Roma, Museo Capitolino

Facendo allusione all'irrazionale matematico Platone parla, nel suo Parmenide, della riconoscibilità del non-essere e sempre nel Parmenide parla di questo passaggio, questo rovesciamento miracoloso del non-essere nell'essere, come di un movimento al di fuori del tempo: l'Istantaneo, una rottura prodotta nell'ordine, ontico delle cose:
l'istante! l'istante fuori dal tempo, dalla natura strana, se non assurda, in cui si compie il rivolgimento istantaneo dal non essere all'essere!

Il cammino del pensiero matematico si presenta ai nostri occhi come una successione di rotture, di discontinuità ontiche e logiche irriducibili agli stadi precedenti: l'essere irrazionale è irriducibile all'essere razionale, l'esistenza dei numeri irrazionali è inderivabile dall'esistenza dei numeri razionali, l'attribuzione dell'essere al fittizio e all'immaginario non può essere giustificato dall'esistenza dei numeri reali.

La traiettoria storica e teorica del sapere matematico ci offre lo spettacolo di una creazione permanente: nuovi universi, nuovi mondi, ciascuno di loro un campo dell'essere onticamente chiuso in sé, uscendo dal loro stato di non-essere per occupare il loro posto nel campo dell'esistenza attuale, della realtà matematica, atemporale, eterna e immutabile e il cui veicolo è l'operazione della pura negazione. Non c'è alcuna dimostrazione ontologica dell'esistenza di Dio, non esiste alcun teorema che dimostra l'esistenza reale dei numeri fittizi puramente immaginari; non c'è alcuna dimostrazione ontologica, né logica, dell'esistenza del numero immaginario, del logos alogos, della ragione irrazionale o -per evitare la risonanza insopportabile di questo termine incoerente- del numero irrazionale; non c'è neppure alcuna astuzia euristica che possa essere così elegante e potente come quella utilizzata dai pitagorici per dimostrare che la successione dei numeri primi è infinita o che i numeri pari del tipo 2n(2n+1-1) sono perfetti se e soltanto se 2n+1-1 è un numero primo, astuzia euristica dunque, che possa condurre a una pretesa scoperta dell'esistenza dell'irrazionale, dell'immaginario, ma prima anche del numero razionale o intero. L'affermazione della loro esistenza è sempre un enunciato assiomatico, un enunciato dunque vero, rna la cui verità non è né dimostrabile né rifiutabile; uri enunciato che costituisce un arché, un inizio assoluto, nuovo e diverso per ciascuno dei mondi presi separatamente. La verità della quale dispongono queste proposizioni esistenziali ritorna a queste senza mediazione della logica, attraverso un atto di attribuzione diretta. Questa operazione è equivalente a un atto di creazione. Ma l'oggetto creato non esce dal vuoto nulla, ma dal suo stesso non-essere specifico, disponendo -già nella sua ipostasi ontica del non-essere -delle stesse proprietà concrete dell'essere.

Ma la creazione implica un agente creatore. L'agente e il vettore della creazione è e non può essere altro che il soggetto. E soggetto è sinonimo di libertà. Verità e esistenza matematiche hanno dunque la loro unica sorgente nella assoluta soggettività, nella libertà rappresentata dal soggetto trascendentale del dominio ontico ed epistemologico delle Matematiche.

Di conseguenza, lo stato ontico specifico degli oggetti matematici è quello di "essere-saputo"; essi esistono perché sono saputi da un soggetto in quanto oggetti che dispongono di realtà. Cogito ergo sum -citava Vico la parola di Cartesio: in nessun luogo, tranne nella Geometria, tutto ciò che io faccio, postulandolo, diventa vero. Io penso un triangolo con degli angoli la cui somma sia uguale a due retti, quindi questo triangolo esiste e i suoi angoli sono uguali con due retti.

A questo punto il soggetto ha una responsabilità immane, il rischio non è che la scelta di ciò che è saputo, e di ciò che è necessario che sia saputo, diventi troppo soggettiva?

Se si prende la parola "essere" nel suo abituale senso positivo, materialista del termine, allora già il primo assioma di Peano: "esiste un numero" -non è che una evidente e triviale assurdità! Perché così come Aristotele poneva la questione: dove, in che luogo è la sfinge, dove, in che luogo è il centauro?- io Le chiedo cara Liliana: mi dica dove, in che luogo è il numero? E si può, sempre con Aristotele rispondere: da nessuna parte, perché non c'è un "dove" un luogo dove il centauro possa essere e abitare. Il numero, esattamente come il centauro, non è da nessuna parte, perché il non-essere non ha luogo.

Le sette stelle delle Pleiadi esistono anche se non esiste alcun astronomo che le conosce, ma il numero sette non esiste e non può esistere prima e senza essere saputo da un sogget to. Ma non si può affermare che il numero naturale 7 esiste, se e soltanto se è saputo da un soggetto: esiste dunque perché il soggetto delle Matematiche è in possesso del suo sapere. L'essere saputo è uno stato ontìco completamente autonomo separato dall'essere in sé delle cose del mondo materiale.

Imre Toth
JE SUIS JEU
Retrospettiva a Regensburg

Nel mondo materiale, l'acquisizione e il possesso del sapere sono posteriori all'oggetto esteriore. L'esistenza dell'oggetto dispone della priorità ontica in relazione all'esistenza del suo sapere. Un albero, una stella, un fiore -gli oggetti del mondo materiale- non hanno bisogno di essere conosciuti da un soggetto per esistere. Essi esistono anche se il loro sapere non esiste. E questo sapere non è mai perfetto.

Nell'ontologia del suo oggetto, il sapere matematico, dunque il soggetto, dispone di priorità assoluta: il suo sapere precede l'oggetto. Factum et verum convertuntur.

Mi permetto di ricordarle nuovamente le parole di Vico: cosa fatta e verità creata sono convertibili! Questa inversione della relazione oggetto-soggetto è anche quella che fornisce il fondamento e la giustificazione dell'esattezza assoluta della quale dispongono le scienze matematiche. Perché il loro testo non descrive un oggetto innanzitutto dato, la verità non è l'adeguamento del sapere successivo all'oggetto preesistente ma esattamente l'opposto: è l'adeguamento successivo dell'oggetto al suo sapere che ha la priorità. E' dunque l'oggetto che riproduce il sapere, e di conseguenza la stessa cosa è presente in due ipostasi, quella del sapere della parola e quella dell'oggetto che rappresenta esattamente questo stesso sapere, una ipostasi verbale che ha la precedenza e la sua ulteriore ipostasi oggettiva. L'essere si sdoppia, lo stesso mondo è presente in due esemplari duali. È quindi la motivazione dell'esattezza e della certezza assolute del sapere matematico: il suo testo spiega con una esattezza assoluta il pentatopo, il simplesso che descrive i sei corpi regolari dello spazio a quattro dimensioni, perché questi politopi non rappresentano che l'incarnazione oggettiva del loro testo. Questi oggetti contengono tutto ciò che è enunciato esplicitamente e tutto ciò che segue per inferenza dal loro testo. E, contemplando questi politopi, il soggetto conosce tutto ciò che è contenuto nel loro sapere preliminare; riconosce il suo stesso sapere in una ipostasi oggettiva talvolta anche più delle proprietà, che senza essere delle conseguenze logiche delle premesse, sono pertanto compatibili con esso.

Questo sdoppiamento dell'essere, nel dominio ontico della Geometria, è esposto in un modo tanto profondo quanto dettagliato nel Cratilo di Platone [per un'analisi più approfondita di questo passaggio si rinvia il lettore al testo dell'autore Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria].

All'inizio degli Elementi si trova un unico termine, eitestho. È un imperativo, un ordine impersonale emesso dal soggetto trascendentale della Geometria che ordina a ogni coppia di rette oblique che giacciono sullo stesso piano di incontrarsi. E le rette obbediscono senza esitazione e si incontrano.

La corrispondenza tra testo e oggetto è dunque di una perfezione e di una certezza assoluta, perché nelle due ipostasi il soggetto sa sempre se stesso. Ciò che viene chiamata la conoscenza matematica non è che l'autoconoscenza del soggetto, il pensiero che pensa se stesso, in se stesso e per se stesso.

Tutto questo accade solo in Matematica?

Al di fuori delle Matematiche non c'è che il romanzo dove si incontra una corrispondenza talmente perfetta tra il testo e l'oggetto da questo descritto.
Il testo di Madame Bovary ci offre una descrizione talmente esatta dell'oggetto "Emma Bovary" come la descrizione che gli Elementi ci offrono di un tetraedro o di un cubo, e anche del simplesso e del cubo a quattro o più dimensioni. Solo che il corpo di Madame Bovary ha una topologia più complicata. Ma, se Emma Bovary fosse stata una persona demografica, un altro testo non avrebbe mai potuto offrirci una descrizione esatta, certa e definitiva. A questo punto, posso forse dire che ci sono due scienze esatte: quella della Geometria e quella del romanzo.

Il romanzo è esatto tanto quanto la teoria matematica. Il sapere che offre il testo del romanzo sulla vita di Bovary dispone di una certezza assoluta e incontestabile tanto quanto il sapere che ci offre il testo di Euclide e anche quello di Lobacevskij, e questo perché Bovary, così come gli oggetti della Geometria euclidea o non euclidea, dispone dello stesso statuto ontico dell'essere saputi.
Questa ontologia stravagante, anche scandalosa, mi ha rivelato la profonda dimensione metafisica che il sapere matematico nasconde, dimensione nascosta e senza alcun interesse per la maggioranza dei matematici che fanno Matematica e per i quali il sapere matematico non costituisce un oggetto di riflessione speculativa.

Certamente gli oggetti matematici non sono gli unici a disporre di questo statuto ontico dell'essere-saputo. La Bellezza, la Libertà -per fare solo due esempi- dispongono anch'esse di esistenza reale se e soltanto se il loro sapere è presente nella coscienza del soggetto. Senza avere la consapevolezza, il sapere certo della sua libertà, l'uomo non è e non può essere libero.
La lingua dispone anch'essa dello stesso statuto ontico: la tavola esiste, qui davanti a me, nello spazio della mia camera, anche se non esiste alcun soggetto che lo sa; ma il termine tavola non esiste da nessuna parte nello spazio, benché essa disponga di una esistenza tanto reale quanto un insetto o una stella. Soltanto che il suo statuto ontico è quello di "essere saputo": esso esiste perché e soltanto perché esso è saputo e, senza essere saputo da un soggetto, esso non esiste. Ma non si arriva mai a sviluppare, all'interno di una lingua, una lingua opposta a questa, accompagnata dal' sapere certo dall'ineffabilità delle sue parole, dunque della sua inesistenza verbale. Dal punto di vista ontologico, le Matematiche ci offrono un'esperienza più ricca, più velata e più sofisticata di questo stato dell'essere-saputo, dunque dell'essere-per-sé, rispetto al fenomeno naturale della lingua o del romanzo. D'altronde lo statuto ontico dell'essere-saputo è completamente naturale tanto quanto l'essere-in-sé di un insetto, di un fiore o di una stella.

Una tale ontologia negativa è certamente un privilegio del quale dispone soltanto il soggetto nella sua ipostasi di soggetto del sapere matematico. Ma il soggetto anch'egli dispone di esistenza reale all'interno dell'Universo, di una esistenza non-spaziale. È evidente: il suo essere è l'essere-saputo per eccellenza. Il soggetto non esiste che per il sapere di se stesso e la sua specificità ontica consiste nella sua pura riflessività, nel suo autosapere. In effetti, è il pensiero che pensa se stesso. E questa riflessività dell'Io non può essere colta dal linguaggio abituale della logica perché porta inevitabilmente a delle contraddizioni paradossali; la sua esistenza è intollerabile per ogni filosofia di ispirazione positivista. In effetti, l'Io, il soggetto è l'incarnazione del paradosso logico. E allora? Tanto peggio per la logica!

Nel momento in cui il soggetto diventa cosciente del fatto che egli dispone della libertà di assegnare l'essere ad un oggetto matematico, al quale lui stesso ha già assegnato il valore ontico di non-essere, che egli dispone della potenza di trasformare l'impossibile in reale, di negare tutto un intero mondo -il suo stesso mondo- ben stabilito e di creare nuovi mondi, di stabilire attraverso la negazione l'esistenza di nuovi domini critici, egli arricchisce e allarga la conoscenza dei propri contenuti nascosti, cioè prende coscienza di se stesso in quanto soggetto trascendentale libero dell'essere e del sapere matematici, in quanto soggetto che dispone della capacità di creare, di far uscire dal non-essere nuovi domini dell'essere attraverso la mediazione della negazione operazione specifica del soggetto e del soggetto soltanto.Nel passato, si è sempre insistito sul ruolo educativo delle scienze matematiche: esse ci offrono, in effetti, un esercizio permanente del ragionamento rigoroso, intollerante verso sofismi, ci insegnano dunque le regole del pensare correttamente. In fondo, è la ragione per la quale la filosofia analitica ha preso le Matematiche come modello paradigmatico di una filosofia orientata verso l'ideale del rigore scientifico. Ma se queste riflessioni, delle quali ho tentato di offrirle un'idea schematica, sono corrette, allora il valore educativo delle Matematiche consisterebbe prima di tutto nella libertà di pensiero che esse ci insegnano. Ci insegnano soprattutto che non è la verità che limita la libertà ma, al contrario, è dalla libertà che fluisce la verità: l'Ethos è al di sopra del Logos. E questa dimensione profondamente metafisica del sapere matematico è incompatibile con tutta la filosofia materialista, empirista o positivista, con ogni concezione che rifiuta di riconoscere il ruolo primordiale del soggetto nell'acquisizione del sapere matematico. In effetti il pensiero matematico è il tallone d'Achille del vitiosus circulus Windobonensis e di tutti i suoi epicicli analitici.

Lei, prof Toth, si è dedicato molto anche alla Storia della Matematica; come ci è arrivato? E questi tre aspetti -il filosofo, il matematico e lo storico della Matematica- in che modo si fondono nella sua ricerca?

Non sono uno storico nel senso proprio del termine anche se ho fatto ricerche storiche e le ho fatte perché ne avevo bisogno. Il mio interesse per gli aspetti ontologici degli oggetti matematici mi ha portato, direi, con una necessità immanente, allo studio del percorso storico della loro genesi fenomenologica. Ho cominciato a studiare come sono sorte tutte queste questioni; dapprima sono stato attratto dalle ragioni che hanno potuto motivare l'intenzionalità, l'orientamento del sapere verso questi oggetti impossibili e dalla necessità di scoprire nel contesto storico la giustificazione dei suoi passaggi successivi dal non-essere all'essere.

G.W.F.Hegel

È dunque la storia della fenomenologia dello spirito, la storia lenta e tortuosa della presa di coscienza di sé, dell'articolazione successiva dell'atocoscienza che conduce l'ascensione del soggetto della storia verso la superficie visibile, l'epiphaneia, delle cose, dove i suoi contenuti nascosti faranno, davanti ai suoi stessi occhi, la loro apparizione alla luce del giorno -come indica lo stesso significato del vocabolo "fenomeno", faino, fainomenon, scelto da Hegel per indicare questo fenomeno naturale dello spirito.
E, ciò che mi ha colpito in questa storia, è che il sapere certo del non essere, la certezza che non esiste un logos che sia un alogos, né del numero irrazionale, né del numero immaginario -ha sempre preceduto l'istantanea consapevolezza del loro essere: sì, esiste un numero irrazionale, sì esiste il numero immaginario, la sua esistenza nel sapere è tanto reale quanto quella del banale numero 7.

In modo molto particolare, il soggetto sa che non esiste alcun numero 7* tale che 7+7* sia uguale a zero, nessun numero 7* tale che il prodotto 7x7* sia uguale a 1, nessun numero 7*, tale che 7*x7* sia uguale a 7. Si può dire che il numero razionale 7 esiste perché il soggetto sa che esiste un numero razionale 7*, tale che 7x7*=1, che il numero reale 7 esiste perché il soggetto sa di un numero irrazionale ma anche reale 7* tale che 7*x7*=7, che esiste un numero complesso 7 perché il soggetto sa dell'esistenza reale di un numero immaginario 7*, tale che 7*x7* = -7. Il soggetto sa dell'esistenza di tutti questi oggetti aritmetici perché nella sua libertà ha preso la decisione di negare la loro non-esistenza e di assegnare loro esistenza e verità. Il sapere dell'esistenza reale di questi oggetti aritmetici immaginari non è dunque il risultato di una scoperta, questi numeri non sono stati scoperti da qualche parte in una foresta esotita o celestiale. La loro conoscenza è il prodotto dell'atto spirituale specifico del soggetto: la presa di coscienza del suo stesso contenuto.

Tutti questi oggetti rimangono e persistono nell'intelletto in uno stato di rigetto, il loro rigetto precedeva la loro accettazione. Con un bel termine, preso in prestito da Hegel, ho chiamato questa tappa negativa della presa di coscienza la coscienza cattiva. In effetti, è uno stato di lacerazione della coscienza: il soggetto rifiuta l'irrazionale, rifiuta l'immaginario come nonentità, ma è costretto a constatare che, a dispetto della loro evidente impossibilità teorica, anch'egli è nell'impossibilità di sbarazzarsene, persistono sempre nella sua coscienza nello stesso stato ontico dell'essere-saputo, come i banali numeri naturali. Il soggetto rifiuta di riconoscersi quale proprietario di questi oggetti che gli appartengono, ma gli è impossibile non riconoscerli per il fatto che gli appartengono in quanto loro possessore e per questo -in un modo o nell'altro- egli è costretto ad assegnare l'essere al non-essere.

Lei nel suo ultimo lavoro sulle Geometrie non-euclidee "De Interpretazione" a pag. 60, scrive: "il ricordo è la forza naturale, che conserva la massa del passato nel presente e la include all'interno del sapere attuale. Il ricordo è il lavoro dello spirito che -nella forma di un commento infinito- si sviluppa e attualizza in costante dialogo con il già esistente... ". A questo proposito vorrei chiederle: adesso, prof Toth, che cosa è per Lei il ricordo, la memoria?

Queste parole sul ricordo appartengono allo stesso tema dell'essere saputo. Il passato è passato, dunque non esiste, è un non-ente. L'universo conosce solo lo stato dell'essere: è ora! Se, e soltanto se un soggetto è presente in questo punto del presente eterno, egli sa il passato. Il passato esiste, sì, il passato appartiene alla realtà perché è saputo da un soggetto, il passato è presente - tutto come l'alogos è un logos, il numero immaginario dispone di realtà attuale - nella coscienza del soggetto e soltanto qui, il suo statuto ontico è quello di "essere-saputo".

Ha raccontato che, quando era ragazzo, era molto affascinato dal "meno" e dall'ontologia negativa dell'oggetto immaginario, dalla negazione. Le Geometrie non-euclidee le hanno fornito qualche risposta, o almeno una giustificazione, ai suoi interrogativi? Insomma qual è il legame tra la negazione e la Geometria non-euclidea? Sul numero 32 di Lettera Matematica Pristem, nella recensione del suo libro "NO!" edito da Rusconi, il professor Pietro Nastasi sottolinea questo momento: "il complesso dei teoremi non-euclidei scaturì d'un tratto e da una sola e pura sorgente: la negazione". Vuole approfondire questo punto centrale anche perché, credo, la negazione come via di conoscenza è una novità, non oggi ma di sicuro per il periodo storico in cui le Geometrie non-euclidee nascono. È il periodo -se non sbaglio- in cui ciò che è non continuo, non derivabile e ovviamente non-euclideo venne ignorato o quanto meno accantonato. Come tutto ciò è potuto accadere? 

In effetti, la Geometria non-euclidea costituisce l'esempio più ricco, anche il più eloquente, direi anche paradigmatico, di questa potenza terrificante della negatività della quale parla Hegel nella sua Fenomenologia dello spirito. È una storia molto lunga e molto tormentata. Essa comincia nell'Accademia di Platone. I geometri dell'Accademia scoprono che la dimostrazione del teorema fondamentale delle parallele, Elem. I 29 (ogni coppia di rette parallele è coortogonale in rapporto a, una trasversale comune) e, di conseguenza, anche la dimostrazione della sua immediata conseguenza Elem. I 32 (la somma degli angoli in ogni triangolo è uguale a due angoli retti) contengono una lacuna. Cominciano allora a produrre una derivazione inferenziale senza lacune di questi teoremi, a partire dai primi ventotto teoremi degli Elementi, il cui insieme costituisce la parte essenziale della geometria assoluta di Bolyai (questi teoremi sono dimostrabili senza usare né il postulato euclideo delle parallele né la sua negazione). Fiasco totale. I geometri, in maniera ricorrente, si smarriscono in un circolo vizioso. Allora tentano di produrre una dimostrazione indiretta: negare il teorema Elem. I 32 e ridurre all'assurdo l'ipotesi non euclidea -la somma degli angoli non è uguale a due retti. Questo tentativo fallisce ugualmente. Il doppio fiasco porta i geometri dell'Accademia a riconoscere che la fondazione della Geometria esige imperativamente una nuova arché: assegnare la verità a una proposizione senza la mediazione di un ragionamento inferenziale. È giusto l'assioma che porta il nome di postulato delle parallele di Euclide. Durante l'impresa di rifiutare l'ipotesi non euclidea, i geometri dell'Accademia hanno necessariamente sviluppato una catena di teoremi non euclidei. Due proposizioni, estremamente sofisticate, di questa catena si ritrovano presso Aristotele: se la somma degli angoli del triangolo supera due retti, allora le parallele si incontrano (in altre parole: nel piano ellittico non esistono linee parallele, tutte le rette sono incidenti); e: se è impossibile che la somma degli angoli del triangolo sia inferiore a due retti, allora esistono quadrati la cui diagonale è commensurabile (nel piano non euclideo, (incommensurabilità della diagonale non è più una proposizione universalmente valida). Un tale quadrato è esplicitamente citato da Aristotele nel suo lavoro Etica Endemia: è la figura completamente stravagante di un quadrato nel quale la somma degli angoli è uguale a otto retti, evidentemente il singolare quadrato massimale del piano ellittico il cui perimetro è un'unica retta chiusa in sé. I testi preservati da Aristotele provano che i geometri dell'Accademia hanno già chiaramente riconosciuto l'irrefutabilità dell'ipotesi non euclidea e l'indecidibilità -per mezzo dell'inferenza logica- dell'alternativa: euclideo o non euclideo. Nel capitolo fondamentale del suo lavoro Etica Endemia, dove la singolarità del soggetto umano è definito dalla sua libertà, Aristotele cita (opposizione "euclideo -non euclideo" come esempio per una alternativa la cui decisione dipende dalla libertà del soggetto e soltanto dalla sua libertà. C'è di più, in uno dei suoi Problemi afferma che un triangolo non euclideo sarà accolto con la stessa gioia e lo stesso piacere di un triangolo euclideo, se è quello che si dimostra essere conforme alla verità. Adesso, pertanto, l'alternativa geometrica è definita tanto poco quanto la battaglia navale che avrà luogo l'indomani a Salamina. Nei secoli successivi, sono stati ripresi i tentativi di fornire una dimostrazione diretta e indiretta del postulato di Euclide e -nel Settecento e all'inizio dell'Ottocento-attraverso i lavori di Saccheri, Lambert, Taurinus si poteva già disporre del testo praticamente terminato della Geometria iperbolica. Sì, ma sebbene non sia stato possibile produrre alcuna dimostrazione accettabile della sua falsità, il sapere del testo non euclideo era presente nell'intelletto in uno stato di rigetto, come l'esatta descrizione del non?essere geometrico, come il sapere esatto della costituzione di un mondo impossibile. I due millenni che hanno preceduto la fondazione della Geometria non euclidea da parte di Gauss, Lobacevskij e Bolyai rappresentano il periodo della cattiva coscienza del sapere non euclideo. Ma il sapere dell'indecidibilità dell'alternativa non costituisce che la condizione necessaria della Geometria, propriamente detta, non euclidea. La indecidibilità logica implica che la sua decisione non può essere che un atto immediato del soggetto libero. Ma la libertà del soggetto nella concezione tradizionale che risale ad Aristotele -consiste nella scelta preferenziale di una, e soltanto di una, delle alternative opposte, scelta effettuata in assenza di ogni vincolo. La libertà è -in questa prospettiva- opposta alla necessità, il vincolo della necessità definisce il limite della libertà. Ma il soggetto della Geometria deve ugualmente confrontarsi con la presenza di un vincolo; è il vincolo esercitato dall'assioma logico dell'esclusione della contraddizione.

K.F. Gauss

Il soggetto è dunque libero di decidere per l'uno dei due, per il mondo euclideo ma anche proprio per un universo non euclideo, ma l'assioma logico lo costringe a rifiutare necessariamente -l'altro. Ma quale? Friedrich Ludwig Wachter, geniale giovane allievo di Gauss, ha per esempio deciso di assegnare la verità alla geometria non-euclidea, mentre ne annunciava la notizia al suo maestro, Gauss, di conseguenza, si è sentito costretto a dichiarare falsa la Geometria di Euclide.

Il sapere dell'indecidibilità dell'alternativa affondava inevitabilmente il soggetto della Geometria nello stato scoraggiante dell'incertezza, dello scetticismo e relativismo assoluto, della totale indecisione: a quale delle due si deve assegnare la verità? La via d'uscita di questo vicolo cieco paralizzante è stata trovata quasi simultaneamente da Gauss, Lobacevskij e Bolyai: occorre assegnare la verità simultaneamente a due testi opposti, occorre assegnare il valore ontico dell'essere simultaneamente a due universi enantiomorfi. L'incidenza delle rette -il postulato euclideo delle parallele - è una certezza perché la coppia di rette è a priori saputo dal suo soggetto in quanto coppia di rette incidenti. E l'assioma di Lobacevskij rappresenta anche una certezza assoluta, perché il soggetto dispone del sapere dell'esistenza delle coppie di rette convergenti e non incidenti. Le due dispongono dello statuto critico dell'essere-saputo. Sapere, certamente, sì, perché le due coppie di rette -euclidea e non euclidea- sono effettivamente ciò che esse sono sapute. È stato Eugenio Beltrami che, nell'introduzione del suo celebre Saggio del 1868, ha attirato l'attenzione su questo aspetto veramente rivoluzionario della Geometria non euclidea.

Nel testo di Beltrami: "Saggio di interpretazione della geometria euclidea", questo era detto chiaramente?

Mi sembra che il testo di Beltrami sia sufficientemente chiaro quando scrive, al proposito, che il trionfo di concetti nuovi -quello della Geometria non euclidea - non può mai infirmare la verità già acquisita, cioè quella euclidea. Indipendentemente da Beltrami, più tardi anche Moritz Pasch e Felix Hausdorff hanno parlato esplicitamente della stessa simultaneità critica degli universi opposti. Dal niente ho creato un altro, un nuovo mondo -scriveva il giovane Bolyai a suo padre. Infatti, questa creazione procede non dal vuoto, ma dalla presenza attuale del mondo non euclideo nello statuto critico del non essere. Ma questa creazione di un nuovo mondo non ha soppresso l'esistenza attuale del mondo vecchio, già stabilito da Euclide.

Dunque possiamo parlare di Geometria non-euclidea nel senso moderno e proprio del termine, nel senso di Gauss, Lobadevskij e Bolyai se e soltanto se le due proposizioni contraddittorie sono entrambe vere. In questo caso, esistono due universi opposti e entrambi reali che contengono separatamente tutti i triangoli, tutti i quadrati... tutti gli oggetti geometrici sono presenti in due esemplari.

Janos Bolyai

Accettare due affermazioni contraddittorie non è stato un passaggio facile nello sviluppo della conoscenza, vero?

È stato questo il momento più difficile nello sviluppo del pensiero non euclideo: accettare la simultaneità di due assiomi che si contraddicono formalmente nonostante siano entrambi veri, accettare l'esistenza e la realtà attuale di due universi opposti, dove ambedue sono mondi onticamente chiusi, vale a dire contengono ambedue separatamente la totalità di tutti gli oggetti geometrici esistenti. L'atto fondatore della Geometria non euclidea consiste dunque nell'adesione a un principio profondamente metafisico: la pluralità dei mondi, la pluralità simultanea di verità opposte.

Non è tanto sconvolgente, dunque, il fatto che la Geometria non euclidea fu rifiutata con una veemenza mai incontrata prima -e con tenacità, per più di mezzo secolo- quasi dalla totalità dei matematici e dalla totalità dei filosofi di ogni colore, di ogni diverso orientamento. Il fatto, al contrario, completamente sconvolgente è che alla fine abbia trionfato. Perché -in opposizione ai numeri irrazionali e immaginari- la Geometria non euclidea non era soltanto mostruosa ma, ciò che è peggio, era completamente inutile. Non serviva a nulla; rappresentava la risposta ad una questione mai posta, l'offerta ad una domanda inesistente. L'unica motivazione esplicita dell'elaborazione successiva del testo non euclideo era la dimostrazione della sua impossibilità. Era un mostro forgiato allo scopo di essere combattuto. Ma, una volta là, è stato veramente impossibile sbarazzarsene. Esso persisteva nell'universo epistemologico in questo strano stato ontico dell'essere-saputo.

È evidente che la simultaneità di due verità e di due realtà opposte non può essere fondata su alcun teorema di Geometria e ancor meno di Logica. Che si dirà di uno zoologo che introduca gli animali mitologici e araldici nel suo manuale di Zoologia e assegna alla sfinge e al centauro l'essere e la verità contemporaneamente all'essere e alla verità che ha da sempre assegnato al cavallo, al cammello, al gatto e al cane. La sorgente della verità e dell'essere non euclidei si trova nel dominio della soggettività assoluta e unicamente nella libertà del soggetto trascendentale delle matematiche. Ma questa volta la libertà non è più quella di Aristotele, ma quella che corrisponde alla concezione, della libertà di Spinoza. Secondo questa concezione non è la necessità che limita la libertà ma l'arbitrio, il capriccio. La libertà consiste di conseguenza nella consapevolezza della necessità, o, secondo la bella formula d'Albert Camus, lo spirito libero ama ciò che è necessario.

Allora, come mai in queste condizioni la Geometria non-euclidea è accettata?

La mia risposta è che -nonostante la sua inutilità iniziale dal punto di vista strettamente professionale- la Geometria non euclidea è stata accettata perché ha rappresentati una necessità, una necessità per lo sviluppo ulteriore delle scienze matematiche. E ciò che era necessario fu la (consapevolezza per citare le celebri parole di Georg Canto ispirate da un testo altrettanto celebre: La Filosofia del diritto di Hegel sull'essenza dello spirito) che l'essenza della Matematica consiste nella sua libertà.

G. Cantor

La motivazione storica della Geometria non euclidea si trova nel suo ruolo decisivo nel processo fenomenologico di presa di coscienza del soggetto matematico. Grazie alla Geometria non euclidea, il soggetto della Matematica è divenuto consapevole della sua stessa libertà, allo stesso modo ha preso coscienza che ciò che costituisce la sua essenza è la libertà spinosiana di scegliere ciò che è necessario e che, all'interno della scienza Matematica, accettare la pluralità dei mondi e delle verità costituisce una necessità.

All'interno di ciascuno di questi mondi, presi separatamente, l'assioma logico dell'esclusione della contraddizione resta naturalmente sempre valido. Ma l'iperuranio dei mondi-saputi non è assoggettato al suo impero. Questa presa di coscienza della sua libertà da parte del soggetto trascendentale della Matematica non è un atto di invenzione Matematica, come quello della scoperta di un teorema o della dimostrazione di un teorema, ma è un atto principalmente politico. Ciò che si chiama la rivoluzione non euclidea fu dunque una rivoluzione nel senso proprio della parola, cioè una rivoluzione di natura politica.

E proprio nel suo contributo a questo sforzo del soggetto per prendere coscienza di se stesso, proprio nel ruolo che esso gioca in questa fenomenologia dello spirito consiste anche il messaggio e il significato filosofici del sapere matematico. E ciò che viene chiamata comunemente Filosofia è l'insieme del sapere prodotto dallo sforzo permanente del soggetto di divenire cosciente di se stesso. Le riflessioni ontologiche ed epistemologiche, il cui oggetto è l'essere e il sapere matematico, portano ad una autoconoscenza più profonda del soggetto, dunque della ragione pura; ci offrono alla fine un'autocritica della ragione pura. Mi permetto di citare al proposito qualche parola che Franz Rosenzweig, pensatore straordinario, ha scritto nel 1921: "un percorso che procede da un non essere specifico al proprio essere, in cui la cosa stessa si trova nello stato del non essere, è questo il principio direttivo che definisce e determina l'origine d'una sola e unica scienza: la Matematica. Ed è precisamente questa la ragione per cui la Matematica, e soltanto essa, ci mostra la strada per riconoscere il sorgere dell'essente dal nulla".

Un'ultima domanda sul futuro, prima di ringraziarla per essere stato così disponibile e per averci dedicato con tanta generosità il suo tempo. Professor Toth quali saranno le meditazioni future?

Non ho nessun progetto concreto. Voglio cercare di esporre le mie riflessioni su questo statuto ontico di essere saputo, voglio cercare di spiegare più semplicemente questa epistemologia e ontologia negativa con la maggior chiarezza possibile perché mi rendo conto che sono difficili da accettare. La cosa è in sé molto difficile. Eì molto difficile articolare le riflessioni concernenti il soggetto, l'lo, sotto forma di un discorso semplice e trasparente. Mi rendo perfettamente conto di quanto è difficile evitare la confusione e anche l'incoerenza del linguaggio. Sono pertanto convinto che il nostro incontro mi ha dato l'occasione di poter esporre in maniera sintetica e forse anche più precisa e più comprensibile il mio stesso punto di vista concernente la relazione tra il pensiero matematico e il pensiero filosofico e di far comprendere al lettore le ragioni che mi hanno portato a vedere in questa magna conjunctio del sapere matematico e presa di coscienza filosofica un evento maggiore dello spirito. Le sono grato per l'occasione.