La congettura dei primi gemelli e altre curiosità sui numeri primi
Tratto dal n. 102 di Lettera matematica pristem vi proponiamo l'articolo in cui Renato Betti ci racconta alcune curiosità e problemi aperti sui numeri primi, nonché le nuove vie collettive per la dimostrazione delle loro proprietà.
Fin dai primi anni di scuola si studiano le operazioni fondamentali dell'Aritmetica: somma e prodotto. Poi, quando si incontrano i numeri primi, si scopre la strana e magica sensazione di una successione di interi così facile da definire e così difficile da vedere nel suo sviluppo interno, dall'uno all'altro membro, almeno se si va a esaminare un po' più avanti la sequenza. Chi di noi non ha provato a trovare qualche regolarità, una legge, un criterio? Chi non è rimasto affascinato da una strana e imprevista proprietà? Forse perché i numeri primi sono specificati nei termini di ciò che non sono: fattorizzabili in interi più piccoli. Forse perché spesso presentano delicati caratteri additivi pur essendo definiti da una condizione moltiplicativa.
Elusivi e intriganti, i numeri primi ci mostrano numerose facce, molte delle quali si intuiscono ma… sono ancora da dimostrare. Sono solo congetture. Certo, ce ne sono di importanti e decisive, che gli specialisti inseguono da più di un secolo, come la famosa "ipotesi di Riemann", situata con apparente noncuranza all'interno dell'unico "articoletto" – così detto per la sua lunghezza limitata – "Sul numero di primi minori di una data grandezza", dedicato alla Teoria dei numeri e presto diventato uno dei maggiori contributi alla materia: mi sembra che valga questa proprietà – scrive il grande matematico nel 1859 – ma ora non ho tempo di verificarla, e si dedica a proseguire l'argomento relativo a una descrizione accurata proprio della successione dei numeri primi, cosa che comporta notevoli implicazioni non solo per la Teoria dei numeri ma per tutta la Matematica e la Fisica. Da allora, generazioni di matematici si affrettano a cercarne la dimostrazione.
L'ipotesi di Riemann è ormai la chiave di volta della Teoria dei numeri e della sua storia, e il famoso elenco dei ventitre "problemi per il nuovo secolo" posti da Hilbert all'inizio del '900, con la sua accurata predizione, ne è la migliore prova. Oggi, dei problemi di Hilbert, pochi rimangono aperti, considerati troppo generali o di carattere più "retorico" che matematico, e l'ipotesi di Riemann resta incontrastata, tanto da aver avuto la promozione a "problema del nuovo millennio" da parte dell'Istituto Matematico Clay il quale, per di più – segno dei nuovi tempi anche per i matematici – ha disposto il premio di un milione di dollari per chi riuscirà a dimostrare che sia vera o – come gli esperti giudicano altamente improbabile – falsa.
