Coppie di numeri simmetrici

Nell'articolo che segue vorrei occuparmi brevemente di un argomento assai poco trattato: le coppie di numeri simmetrici. 

Circa una ventina di anni fa, in questa sede, fu pubblicato un mio lavoro sui quadrati magici nel quale si illustravano gli algoritmi per costruirli nei tre diversi ordini: dispari, doppiamente pari e pari. 

Tutti e tre i metodi illustrati si basavano sull’utilizzo di coppie di numeri simmetrici, con il vantaggio di una maggior semplicità di costruzione rispetto ad altri sistemi conosciuti.

Per chi volesse approfondire questo lavoro lo può trovare di seguito: Metodi per la costruzione di quadrati magici.

Le coppie di numeri simmetrici le ritroviamo anche nella congettura di Goldbach che così afferma: Ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi (anche uguali). Pertanto dato un numero n pari e maggiore di 2: o i due numeri primi che lo formano valgono n/2 oppure non possono che essere simmetrici a n/2.

C’è un altro ambito nel quale è interessante l’utilizzo di coppie di numeri simmetrici e lo illustrerò invitandovi a fare il seguente esperimento.

Radunate un gruppetto di persone e dite loro di fare a mente la somma dei numeri da 1 a 5; dopo pochi secondi risponderanno: 15. Fate poi fare la somma dei numeri da 1 a 9, impiegheranno un po’ di più, poi daranno la soluzione: 45. Infine dite loro di fare la somma dei numeri da 1 a 99 ma, a questo punto, diranno in coro che è impossibile fare a mente un tale calcolo. Se domandate che metodo hanno usato per le prime due somme, quasi sicuramente vi diranno che hanno fatto una semplice somma di numeri. 1+2+3… è chiaro che in questa maniera è pressoché impossibile fare l’ultima somma richiesta. Occorre quindi cambiare sistema ovvero, stando al linguaggio del pensiero laterale occorre ristrutturare il modello. Possiamo allora invitarli a visualizzare mentalmente i numeri da 1 a 99, ottenendo questa sequenza:

1, 2, 3, … 49, 50, 51, … 97, 98, 99

Ora, formando coppie di numeri simmetrici al valore centrale che è 50, otteniamo 49 coppie, ciascuna che vale 100 e che quindi, in totale, valgono 4900; aggiungendo a tale valore quello del numero centrale che è 50, il risultato finale è 4950.

In questo caso, il calcolo è stato particolarmente facile poiché ogni coppia valeva 100 ma, più in generale, data una serie di numeri interi da 1 a n, il risultato della loro somma è: (n+1)xn/2.

Vediamo ora cosa accade se la sequenza di numeri interi, anziché cominciare da 1 inizia da un qualsiasi valore a.

Indicando con a il primo e con b l’ultimo valore della sequenza, la quantità di numeri che formano la stessa (che chiamiamo n) è:  n = b – a + 1.

Ad esempio:

n=19–11+1=9 (che è la quantità di numeri che compongono la sequenza)

A questo punto, prendendo sempre in considerazione le coppie di numeri simmetrici, la formula generale per calcolare la somma è:

(a + a + n – 1) x n/2   ovvero  (n + 2a – 1) x n/2

È facile constatare che, per a = 1 si ottiene  (n + 1) x n/2 che è la formula indicata prima.