Felix Klein
Felix Klein, nato a Düsseldorf il 25 aprile 1849, è noto per i suoi contributi alla Geometria non euclidea e soprattutto per i suoi collegamenti fondazionali tra Geometria e Teoria dei gruppi.
Dopo aver terminato gli studi secondari, Klein si iscrisse all'Università di Bonn per studiare Matematica e Fisica. Nel 1866, mentre era ancora studente universitario, Julius Plücker gli offrì di essere suo assistente di laboratorio. Plücker aveva la cattedra di Matematica e Fisica sperimentale a Bonn, ma il suo interesse iniziava a orientarsi verso la Geometria. Klein conseguì il suo dottorato nel 1868, sotto la supervisione di Plücker, con una tesi di Geometria e sulle sue applicazioni alla meccanica. In questo lavoro Klein classifica le curve complesse di secondo grado, usando la teoria di Weierstrass dei divisori elementari. Nel 1872 Klein, a soli 23 anni, fu nominato professore a Erlangen. In seguito, nel 1875, gli offrirono una cattedra al Technische Hochschule a Monaco di Baviera. Tra gli studenti a cui insegnò Klein a Monaco ci furono: Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carle Runge, Max Planck, Luigi Bianchi e Gregorio Ricci-Curbastro.
Nel 1886 Klein accettò una cattedra all'Università di Göttingen . Qui vi insegnò fino al ritiro, nel 1913, cercando di fare di Göttingen il più importante centro di ricerca matematica al mondo. Klein stabilì a Göttingen un centro che doveva servire come modello per i migliori centri di ricerca nel mondo. Inaugurò incontri settimanali di discussione e una stanza di lettura con una libreria matematica. Klein fece in modo che David Hilbert da Königsberg raggiungesse il suo team di ricerca a Göttingen. La fama del giornale Mathematische Annalen si fondò sulle sue abilità matematiche e direttive. Il giornale si specializzò in Analisi complessa, Geometria algebrica e Teoria degli invarianti. Inoltre esso costituì un importante contributo all'Analisi reale e alla Teoria dei gruppi. Nel 1913 Klein si ritirò per problemi di salute. Comunque continuò ad insegnare privatamente durante la Prima guerra mondiale. Klein è morto il 22 giugno 1925 a Göttingen.
Felix Klein
I primi principali risultati ottenuti da Klein si collocano intorno al 1870, realizzati in collaborazione con Sophus Lie. Si parla delle proprietà fondamentali delle curve asintotiche nella superficie di Kummer. Durante il tempo trascorso a Göttingen, Klein fece le maggiori scoperte in Geometria. Nel 1871 pubblicò due scritti sulla Geometria non-euclidea in cui mostrò che era possibile considerare il caso euclideo e quello non euclideo come casi particolari di una superficie proiettiva con l'aggiunta di una sezione conica. Ciò determinò il noto corollario che una Geometria non euclidea è logicamente consistente se e solo se la geometria euclidea è consistente.
La concezione di Klein sulla Geometria come studio delle proprietà dello spazio che sono invarianti rispetto a un dato gruppo di trasformazioni, conosciuta come Programma di Erlangen (1872), influenzò profondamente lo sviluppo della Matematica. Le trasformazioni giocheranno così un ruolo maggiore nella Geometria moderna e Klein mostrerà come le proprietà essenziali di una data Geometria possono essere rappresentate dal gruppo delle trasformazioni che conservano tali proprietà. In questo modo il Programma di Erlangen definì una Geometria unitaria che include sia il caso euclideo che quello non euclideo.
Klein fu eletto presidente della Commissione Internazionale per l'Insegnamento Matematica nel Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a Roma nel 1908, la London Mathematical Society gli conferì la medaglia De Morgan nel 1893. Fu eletto membro della Royal Society nel 1885 e ricevette la medaglia Copley nel 1912.